Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve tabanları 1'den farklı olan aa, bb ve cc sayıları arasında
log⁡a(bc)=3\log_a(bc) = 3
log⁡ab(c)=12\log_{ab}(c) = \frac{1}{2}
bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, log⁡ba\log_b a ifadesinin eşiti kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. C
    53\frac{5}{3}
  4. 35\frac{3}{5}Answer
  5. E
    43\frac{4}{3}

Answer

3/5
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen iki bağıntının taban değiştirme kuralları yardımıyla a tabanına çevrilip birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin çözülmesiyle elde edilen değerin çarpmaya göre tersinin alınmasıyla bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitlik olan log⁡a(bc)=3\log_a(bc) = 3 ifadesini logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak düzenleyin.
log⁡ab+log⁡ac=3\log_a b + \log_a c = 3 elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda (bu durumda a tabanında) yazarak sistem oluşturmak.
2
İkinci eşitlik olan log⁡ab(c)=12\log_{ab}(c) = \frac{1}{2} ifadesini a tabanında taban değiştirme kuralına göre açın.
log⁡ab(c)=log⁡aclog⁡a(ab)=log⁡ac1+log⁡ab=12  ⟹  1+log⁡ab=2log⁡ac\log_{ab}(c) = \frac{\log_a c}{\log_a(ab)} = \frac{\log_a c}{1 + \log_a b} = \frac{1}{2} \implies 1 + \log_a b = 2\log_a c elde edilir.
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak tabanı ab olan ifadeyi a tabanına dönüştürmek.
3
Elde edilen denklemleri log⁡ab=u\log_a b = u ve log⁡ac=v\log_a c = v değişken dönüşümüyle çözün.
u+v=3u + v = 3 ve 1+u=2v1 + u = 2v sisteminden u=3−vu = 3 - v yazılıp ikinci denklemde yerine konursa; 1+(3−v)=2v  ⟹  4=3v  ⟹  v=431 + (3 - v) = 2v \implies 4 = 3v \implies v = \frac{4}{3} ve u=3−43=53u = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3} olarak bulunur.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek logaritmik değerleri hesaplamak.
4
Hesaplanan u=log⁡ab=53u = \log_a b = \frac{5}{3} değerini kullanarak log⁡ba\log_b a değerini bulun.
log⁡ba=1log⁡ab=15/3=35\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} elde edilir.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} taban değiştirme özelliğini uygulamak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic