Examkin

Question

Difficulty: MediumTekrarlı Permütasyon

Bir çocuk; elindeki nn adet mavi, 22 adet kırmızı ve 22 adet sarı renkli özdeş oyuncak küpün tamamını dikey olarak üst üste dizerek kuleler oluşturmaktadır.

Bu küplerin tamamı kullanılarak oluşturulabilecek birbirinden farklı kule sayısı 420420 olduğuna göre, kule yapımında kullanılan toplam küp sayısı kaçtır?

  1. A
    44
  2. B
    66
  3. C
    77
  4. 88Answer
  5. E
    99

Answer

Kule yapımında kullanılan toplam küp sayısı 88'dir.
Toplam küp sayısı n+4n + 4'tür. Küplerin özdeş olması nedeniyle oluşan farklı dizilim sayısı (n+4)!n!⋅2!⋅2!=420\frac{(n+4)!}{n! \cdot 2! \cdot 2!} = 420 bağıntısı ile hesaplanır. Buradan (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)=1680(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) = 1680 elde edilir. Çarpımları 16801680 olan dört ardışık sayı 55, 66, 77 ve 88 olduğundan n=4n = 4 bulunur. Dolayısıyla toplam küp sayısı 4+4=84 + 4 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Özdeş küplerin dizilim sayıları için tekrarlı permütasyon bağıntısını oluşturun.
Toplam küp sayısı n+4n + 4 olup, özdeş küplerin kendi aralarındaki dizilim sayısı (n+4)!n!⋅2!⋅2!=420\frac{(n+4)!}{n! \cdot 2! \cdot 2!} = 420 denklemini verir.
Mavi küplerden nn adet, kırmızı küplerden 22 adet ve sarı küplerden 22 adet özdeş olduğu için tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır.
2
Faktöriyel ifadelerini sadeleştirerek nn değerini bulun.
(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)⋅n!n!⋅4=420  ⟹  (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)=1680\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) \cdot n!}{n! \cdot 4} = 420 \implies (n+4)(n+3)(n+2)(n+1) = 1680 olur. Çarpımları 16801680 olan ardışık dört pozitif tam sayı 5⋅6⋅7⋅8=16805 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680 olduğundan n+1=5  ⟹  n=4n+1 = 5 \implies n = 4 bulunur.
Bilinmeyen nn parametresini bulmak için cebirsel denklem çözülmeli ve ardışık çarpan analizi yapılmalıdır.
3
Kule yapımında kullanılan toplam küp sayısını hesaplayın.
Toplam küp sayısı n+4=4+4=8n + 4 = 4 + 4 = 8 olarak bulunur.
Soruda sadece mavi küplerin sayısı (nn) değil, kullanılan tüm küplerin toplam sayısı (n+4n+4) istenmektedir.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon formülünde, özdeş nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin toplam permütasyon sayısını nasıl etkilediği incelenir.
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic