Examkin

Question

Difficulty: Mediumİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Tüm xx gerçel sayıları için x2−(m−2)x+m+1>0x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0 eşitsizliği sağlandığına göre, mm parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 2828'dir.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur. Tüm gerçel sayılar için eşitsizliğin sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması (Δ<0\Delta < 0) şartına bağlıdır. Bu şarttan elde edilen m2−8m<0m^2 - 8m < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,8)(0, 8) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7) toplamı 2828'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü x2−(m−2)x+m+1>0x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir. Buradan elde edilen m2−8m<0m^2 - 8m < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,8)(0, 8) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı gerçekten 2828'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşulu belirlenir.
Başkatsayı a>0a > 0 ve diskriminant Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif değerler alması, parabolün xx-eksenini kesmemesi (kökünün olmaması) ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir.
2
Verilen ifadenin diskriminantı (Δ\Delta) hesaplanır.
Δ=(−(m−2))2−4⋅1⋅(m+1)=m2−8m\Delta = (-(m-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+1) = m^2 - 8m
Diskriminant formülü Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac kullanılarak mm cinsinden bir eşitsizlik elde etmek için hesaplama yapılır.
3
Diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluyla elde edilen eşitsizlik çözülür.
m2−8m<0  ⟹  m(m−8)<0  ⟹  m∈(0,8)m^2 - 8m < 0 \implies m(m-8) < 0 \implies m \in (0, 8)
Eşitsizliğin kökleri 00 ve 88 olarak bulunur. Başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda sağdan (+) ile başlanır ve köklerde işaret değiştirilerek negatif bölge (0,8)(0, 8) olarak belirlenir.
4
mm parametresinin alabileceği tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.
Tam sayılar: 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Toplam: 1+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7 = 28.
(0,8)(0, 8) açık aralığındaki tam sayı değerleri toplanarak ifadedeki değerle karşılaştırılır.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin daima sağlanması koşulu ve işaret incelemesi

Alternative Method

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının y-koordinatının (kk) pozitif olması gerektiği kullanılabilir: k=f(r)>0k = f(r) > 0. Tepe noktasının apsisi r=m−22r = \frac{m-2}{2} olup, k=f(m−22)=(m−22)2−(m−2)(m−22)+m+1>0  ⟹  −(m−2)24+m+1>0  ⟹  −(m2−4m+4)+4m+4>0  ⟹  −m2+8m>0  ⟹  m2−8m<0k = f\left(\frac{m-2}{2}\right) = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 - (m-2)\left(\frac{m-2}{2}\right) + m + 1 > 0 \implies -\frac{(m-2)^2}{4} + m + 1 > 0 \implies -(m^2 - 4m + 4) + 4m + 4 > 0 \implies -m^2 + 8m > 0 \implies m^2 - 8m < 0 eşitsizliğine ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi