t ve u gerçel sayılar olmak üzere, t = x^2 - x u = t^2 - 3t y = u^3 - 2u^2 \neşitlikleri tanımlanıyor. Buna göre, \frac{dy}{dx} ifadesinin x = 2 için değeri kaçtır?

t ve u gerçel sayılar olmak üzere, t = x^2 - x u = t^2 - 3t y = u^3 - 2u^2 \neşitlikleri t… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$t$ ve $u$ gerçel sayılar olmak üzere,

t = x^2 - x

u = t^2 - 3t

y = u^3 - 2u^2

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ ifadesinin $x = 2$ için değeri kaçtır?

Answer: 60

Answer

İfadelerin birbirine bağlı türevleri zincir kuralı yardımıyla çarpıldığında x = 2 için türevin değeri 60 olarak elde edilir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi alınırken dy/du, du/dt ve dt/dx türevleri sırasıyla hesaplanıp çarpılmalıdır. x = 2 noktası için t = 2 ve u = -2 değerleri bulunur. Bu noktalardaki türevlerin çarpımı 20 * 1 * 3 = 60 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Zincir kuralı ilişkisini belirleme

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

u

ya,

u

değişkeni

t

ye,

t

değişkeni de

x

e bağlı olduğu için türev zincir kuralı ile hesaplanır.

x = 2

noktasındaki

t

u

değerlerini hesaplama

t = 2^2 - 2 = 2

u = 2^2 - 3(2) = -2

Türev fonksiyonlarının hangi noktalarda değerlendirileceğini bulmak için ara değişken değerleri hesaplanmalıdır.

Her bir ifadenin türevini alıp değerlerini yerine yazma

\frac{dt}{dx} = 2x - 1 \implies x = 2 \text{ için } 3

\frac{du}{dt} = 2t - 3 \implies t = 2 \text{ için } 1

\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \implies u = -2 \text{ için } 3(-2)^2 - 4(-2) = 20

Zincir kuralı bileşenlerinin sayısal değerlerini bulmak için her aşamadaki türevler hesaplanır.

Türev değerlerini çarparak nihai sonucu elde etme

3 \cdot 1 \cdot 20 = 60

Elde edilen türev değerleri zincir kuralında çarpım durumundadır.

Key Concept

Zincir kuralı (Chain Rule) yardımıyla çok katmanlı bağlı değişkenlerin türevini alma

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic