f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [1, 5] olduğuna gör… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık $[1, 5]$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Answer: 24

Doğru cevap 24'tür.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla

x = 1

x = 5

değerleri

f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0

denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı

1+5 = 2a/3 \implies a = 9

ve kökler çarpımı

1 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15

bulunur. Buradan

a+b = 24

elde edilir.

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 3x^2 - 2ax + b

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.

Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.

f'(x) = 0

denkleminin kökleri

x_1 = 1

x_2 = 5

olmalıdır.

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

[1, 5]

ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.

Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak

a

b

değerlerini bulun ve toplayın.

a = 9

b = 15

ve buradan

a + b = 24

elde edilir.

Kökler toplamı formülünden

1 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9

ve kökler çarpımı formülünden

1 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15

bulunur.

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine,

f'(1) = 0

f'(5) = 0

eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan

3 - 2a + b = 0

75 - 10a + b = 0

denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak

72 - 8a = 0 \implies a = 9

bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da

b = 15

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question