Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı pozitif xx ve yy gerçel sayıları için,
log⁡2x+log⁡y4=3\log_2 x + \log_y 4 = 3
log⁡x2+log⁡4y=32\log_x 2 + \log_4 y = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 12Answer
  5. E
    14

Answer

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 12'dir.
Verilen denklem sisteminde taban değiştirme kuralları uygulandığında a=log⁡2xa = \log_2 x ve b=log⁡2yb = \log_2 y için a=ba = b eşitliği ve a2−3a+2=0a^2 - 3a + 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 11 ve 22 olup, buna karşılık gelen xx ve yy değerlerinden x+yx+y toplamı 44 veya 88 değerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1212'dir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğini kullanarak aynı tabana getirmek.
log⁡y4=log⁡24log⁡2y=2log⁡2y\log_y 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 y} = \frac{2}{\log_2 y} , log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡4y=log⁡2ylog⁡24=log⁡2y2\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} ifadeleri elde edilir.
Sistemdeki tüm logaritmaları 2 tabanında yazarak ortak değişkenler elde etmek amaçlanır.
2
log⁡2x=a\log_2 x = a ve log⁡2y=b\log_2 y = b değişken değiştirmelerini yaparak denklemleri düzenlemek.
Birinci denklem: a+2b=3  ⟹  ab+2=3ba + \frac{2}{b} = 3 \implies ab + 2 = 3b
İkinci denklem: 1a+b2=32  ⟹  2+ab2a=32  ⟹  ab+2=3a\frac{1}{a} + \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \implies \frac{2+ab}{2a} = \frac{3}{2} \implies ab + 2 = 3a
denklemleri elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle logaritmik denklem sistemi cebirsel bir denklem sistemine dönüştürülür.
3
Elde edilen cebirsel denklem sistemini çözmek.
ab+2ab + 2 ifadeleri eşit olduğundan, 3a=3b  ⟹  a=b3a = 3b \implies a = b olur. Bu eşitlik birinci denklemde yerine yazılırsa: a2−3a+2=0  ⟹  (a−1)(a−2)=0a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a-1)(a-2) = 0 denklemi bulunur. Buradan a=1a = 1 veya a=2a = 2 elde edilir. a=ba = b olduğundan, (a,b)(a,b) ikilisi (1,1)(1,1) veya (2,2)(2,2) olabilir.
Denklemlerin ortak çözümü yapılarak aa ve bb değişkenlerinin alabileceği değerler belirlenir.
4
Değişken değiştirmeyi geri alarak xx ve yy değerlerini bulup x+yx+y toplamlarını hesaplamak.
Birinci durum: a=1,b=1  ⟹  log⁡2x=1  ⟹  x=2a = 1, b = 1 \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2 ve log⁡2y=1  ⟹  y=2\log_2 y = 1 \implies y = 2 olur. Buradan x+y=2+2=4x+y = 2+2=4 bulunur.
İkinci durum: a=2,b=2  ⟹  log⁡2x=2  ⟹  x=4a = 2, b = 2 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 4 ve log⁡2y=2  ⟹  y=4\log_2 y = 2 \implies y = 4 olur. Buradan x+y=4+4=8x+y = 4+4=8 bulunur.
x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı: 4+8=124 + 8 = 12 olur.
Bulunan değişken değerleri başlangıçtaki logaritma tanımlarında yerine yazılarak aranan toplamın alabileceği değerler hesaplanır.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic