Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1a=sin⁡4(x)−cos⁡4(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{\sin^4(x) - \cos^4(x)}{\sin(x) + \cos(x)}
  2. 2c=tan⁡(x)+cot⁡(x)sec⁡(x)csc⁡(x)c = \frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sec(x)\csc(x)}
  3. 3b=1+2sin⁡(x)cos⁡(x)b = \sqrt{1 + 2\sin(x)\cos(x)}

Answer

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler a<c<ba < c < b şeklinde sıralanır.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır, cc ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur, bb ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
aa ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.
a=(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)} elde edilir. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu için ifade a=(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) halini alır.
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.
2
bb ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.
1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) yazıldığında kök içi (sin⁡(x)+cos⁡(x))2(\sin(x) + \cos(x))^2 olur. Buradan b=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)| elde edilir.
Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.
3
cc ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.
Pay kısmı: tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} olur. Payda kısmı: sec⁡(x)csc⁡(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} olur. İkisinin oranı c=1c = 1 sonucunu verir.
Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.
Bu aralıkta (üçüncü bölgede) cos⁡(x)<sin⁡(x)<0\cos(x) < \sin(x) < 0 eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
- a=sin⁡(x)−cos⁡(x)>0a = \sin(x) - \cos(x) > 0 olup 0<a<10 < a < 1 aralığındadır.
- sin⁡(x)+cos⁡(x)<0\sin(x) + \cos(x) < 0 olduğundan b=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣=−sin⁡(x)−cos⁡(x)b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x) olur. Bu değer 1<b<21 < b < \sqrt{2} aralığındadır.
- c=1c = 1 sabittir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.
5
Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
0<a<10 < a < 1, c=1c = 1 ve 1<b<21 < b < \sqrt{2} olduğundan sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic