Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡23=a\log_2 3 = a
log⁡35=b\log_3 5 = b

olduğuna göre, log⁡2045\log_{20} 45 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3a+ba+b+2\frac{3a+b}{a+b+2}
  2. B
    2a2+b2a+b\frac{2a^2+b}{2a+b}
  3. a(b+2)ab+2\frac{a(b+2)}{ab+2}Answer
  4. D
    2a2bab+2\frac{2a^2b}{ab+2}
  5. E
    b+22a+b\frac{b+2}{2a+b}

Answer

a(b+2)/(ab+2)
Verilen logaritma ifadelerinde taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri kullanılır. Öncelikle \log_2 5 ifadesinin değerini bulmak için zincir kuralı uygulanır: \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b. Daha sonra \log_{20} 45 ifadesi 2 tabanında yazılır: \log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}. Pay ve paydadaki sayılar asal çarpanlarına ayrılıp çarpım kuralıyla toplam şeklinde açıldığında pay 2a + ab, payda ise 2 + ab olur. Bu değerler oranlandığında ve pay kısmı a parantezine alındığında \frac{a(b+2)}{ab+2} ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
log_2 5 ifadesini verilen a ve b cinsinden elde etmek için zincir kuralı uygulanır.
log⁡25=log⁡23⋅log⁡35=a⋅b\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b
Verilen logaritma tabanlarını ortak bir tabanda (2 tabanında) birleştirmek için.
2
log_{20} 45 ifadesini 2 tabanında yazarak taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2045=log⁡245log⁡220\log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}
Soruda verilen a ve b değişkenleri sırasıyla 2 ve 3 tabanlarına bağlı olduğu için ifadeyi 2 tabanına taşımak kolaylık sağlar.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açalım.
log⁡245=log⁡2(32⋅5)=2log⁡23+log⁡25=2a+ab\log_2 45 = \log_2(3^2 \cdot 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + ab ve log⁡220=log⁡2(22⋅5)=2log⁡22+log⁡25=2+ab\log_2 20 = \log_2(2^2 \cdot 5) = 2\log_2 2 + \log_2 5 = 2 + ab
Çarpımın logaritmasını toplamın logaritmasına dönüştürerek a ve b cinsinden yazabilmek için.
4
Elde edilen ifadeleri oranlayıp ortak paranteze alarak sonucu bulalım.
log⁡2045=2a+abab+2=a(b+2)ab+2\log_{20} 45 = \frac{2a + ab}{ab + 2} = \frac{a(b+2)}{ab + 2}
Sadeleştirilmiş en son cebirsel biçimi elde etmek için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım/bölüm özellikleri yardımıyla değişken dönüşümü yapma.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic