Pozitif bir a gerçel sayısı için [0, 2] kapalı aralığında tanımlı f(x) = ax^2 + 1 fonksiyo… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif bir $a$ gerçel sayısı için $[0, 2]$ kapalı aralığında tanımlı $f(x) = ax^2 + 1$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasında kalan bölgenin alanı $A$ birimkaredir. $[0, 2]$ aralığı $2$ eş alt aralığa bölünerek $f$ fonksiyonu için bir Riemann üst toplamı $U$ hesaplanıyor. $U - A = 7$ birimkare olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

A
$2$
$3$ Answer
C
$4$
D
$\frac{21}{5}$
E
$6$

Answer

Doğru cevap 3'tür.

Pozitif

a

değeri için

f(x) = ax^2 + 1

fonksiyonu

[0, 2]

kapalı aralığında artandır. Riemann üst toplamı, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile hesaplanır:

U = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = 5a + 2

. Eğrinin altında kalan alan ise belirli integral ile hesaplandığında

A = \frac{8a}{3} + 2

bulunur. İki değerin farkı

U - A = \frac{7a}{3} = 7

eşitliğinden

a = 3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Aralık genişliğinin ve alt aralıkların belirlenmesi

\Delta x = 1

ve aralıklar

[0, 1]

[1, 2]

[0, 2]

aralığı

2

eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği

\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1

olur. Bu durumda bölüntü noktaları

x_0 = 0

x_1 = 1

x_2 = 2

şeklindedir.

Riemann üst toplamının (

U

)

a

cinsinden hesaplanması

U = 5a + 2

a > 0

olduğu için

f(x) = ax^2 + 1

fonksiyonu

[0, 2]

aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her bir alt aralıktaki maksimum değer sağ uç noktalarda alınır. Riemann üst toplamı:

U = \Delta x \cdot (f(1) + f(2)) = 1 \cdot ((a \cdot 1^2 + 1) + (a \cdot 2^2 + 1)) = 5a + 2

olur.

Eğri altında kalan alanın (

A

) belirli integral ile

a

cinsinden hesaplanması

A = \frac{8a}{3} + 2

Eğri ile

x

ekseni arasında kalan alan, fonksiyonun

[0, 2]

aralığındaki belirli integraline eşittir:

A = \int_0^2 (ax^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{a \cdot 2^3}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8a}{3} + 2

olur.

U - A = 7

denkleminin çözülerek

a

değerinin bulunması

a = 3

Verilen

U - A = 7

eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:

(5a + 2) - \left( \frac{8a}{3} + 2 \right) = 7 \implies 5a - \frac{8a}{3} = 7 \implies \frac{15a - 8a}{3} = 7 \implies \frac{7a}{3} = 7 \implies a = 3

elde edilir.

Key Concept

Riemann üst toplamı ile belirli integralin temsil ettiği alan ilişkisi

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic