Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1c=cos⁡4x−sin⁡4xc = \cos^4 x - \sin^4 x
  2. 2b=1−sin⁡(2x)+sin⁡xb = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x
  3. 3a=tan⁡x⋅1+cot⁡2xa = \tan x \cdot \sqrt{1 + \cot^2 x}

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=cos⁡(2x)c = \cos(2x) elde edilir. Bu aralıkta sec⁡x>1\sec x > 1 olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi, cos⁡x\cos x ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama c<b<ac < b < a şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1
İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi
a=tan⁡x⋅csc⁡2x=tan⁡x⋅∣csc⁡x∣a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x| elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında csc⁡x>0\csc x > 0 olduğundan ifade aynen çıkar: a=sin⁡xcos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x.
Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.
2
İkinci ifadenin sadeleştirilmesi
b=(cos⁡x−sin⁡x)2+sin⁡x=∣cos⁡x−sin⁡x∣+sin⁡xb = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x elde edilir. x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar: b=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.
3
Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi
c=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=cos⁡(2x)⋅1=cos⁡(2x)c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x) elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.
4
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) için sec⁡x>1\sec x > 1, cos⁡x<1\cos x < 1 ve cos⁡(2x)<1\cos(2x) < 1 olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan x<2x  ⟹  cos⁡(2x)<cos⁡xx < 2x \implies \cos(2x) < \cos x yazılır. Buradan c<b<ac < b < a sıralamasına ulaşılır.
Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic