Examkin

Question

Difficulty: EasyParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
  1. A
    10
  2. B
    12
  3. C
    27
  4. 15Answer
  5. E
    21

Answer

Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 15 birimkaredir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarıdır. Taban uzunluğu 6 birim ve bu tabana ait yükseklik 5 birim olan üçgenin alanı 15 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı bulmak amacıyla fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
f(0) = 0^2 - 4(0) - 5 = -5 olduğundan y-eksenini kestiği nokta C(0, -5) olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği noktada apsis değeri sıfırdır.
2
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak amacıyla f(x) = 0 denklemi çözülür.
x^2 - 4x - 5 = 0 denklemi (x - 5)(x + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x = 5 ve x = -1 bulunur. Noktalar A(-1, 0) ve B(5, 0) olarak elde edilir.
Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalarda ordinat değeri sıfırdır.
3
Elde edilen A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı hesaplanır.
Üçgenin tabanı x-ekseni üzerinde olup uzunluğu |AB| = 5 - (-1) = 6 birimdir. Yüksekliği ise y-ekseni üzerinde olup uzunluğu |OC| = |-5| = 5 birimdir. Buradan alan = (6 * 5) / 2 = 15 birimkare bulunur.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Key Concept

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktalarla geometrik şekillerin alanlarının hesaplanması.

Alternative Method

Üçgenin köşe koordinatları bilindiğinde, analitik geometrideki koordinatları bilinen üçgenin alan formülü (determinant yöntemi) kullanılarak da alan doğrudan hesaplanabilir: Alan = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| formülünde noktalar yerine yazıldığında Alan = 0.5 * |-1(0 - (-5)) + 5(-5 - 0) + 0(0 - 0)| = 0.5 * |-5 - 25| = 15 birimkare elde edilir.
Estimated Time:1m 0s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic