Examkin

Question

Difficulty: MediumBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
yy değişkeni tt değişkenine, tt değişkeni ise xx bağımsız değişkenine bağlı olarak
y=t2−ty = t^2 - t
t=x2−3xt = x^2 - 3x
eşitlikleriyle tanımlanmaktadır.

Buna göre, x=4x = 4 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Answer: 35

Answer

35
Zincir kuralına göre dydx=dydt⋅dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} eşitliği geçerlidir. x=4x = 4 için t=4t = 4 olur. dydt=2t−1\frac{dy}{dt} = 2t - 1 türevinde t=4t = 4 yazıldığında 77 elde edilir. dtdx=2x−3\frac{dt}{dx} = 2x - 3 türevinde x=4x = 4 yazıldığında 55 elde edilir. Bu iki değer çarpıldığında 7⋅5=357 \cdot 5 = 35 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Zincir kuralı bağıntısını kurma
dydx=dydt⋅dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
yy değişkeni tt'ye, tt ise xx'e bağlı olduğundan yy'nin xx'e göre türevi zincir kuralı ile hesaplanır.
2
x=4x = 4 için tt değerini belirleme
t=4t = 4
dydt\frac{dy}{dt} türevinde tt yerine yazılacak değeri bulmak gerekir.
3
dydt\frac{dy}{dt} türevini bulup t=4t = 4 değerini yerine yazma
dydt∣t=4=7\frac{dy}{dt}\Big|_{t=4} = 7
y=t2−ty = t^2 - t fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.
4
dtdx\frac{dt}{dx} türevini bulup x=4x = 4 değerini yerine yazma
dtdx∣x=4=5\frac{dt}{dx}\Big|_{x=4} = 5
t=x2−3xt = x^2 - 3x fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu bulma
35
Zincir kuralı gereği elde edilen türev değerleri çarpılır.

Key Concept

Zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonun türevini hesaplama.

Alternative Method

Alternatif olarak, t=x2−3xt = x^2 - 3x ifadesi y=t2−ty = t^2 - t denkleminde yerine yazılarak yy doğrudan xx cinsinden ifade edilebilir: y=(x2−3x)2−(x2−3x)y = (x^2 - 3x)^2 - (x^2 - 3x). Ardından bu ifadenin xx'e göre türevi alınır: dydx=2(x2−3x)(2x−3)−(2x−3)\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 3x)(2x - 3) - (2x - 3). x=4x = 4 yazıldığında, 2(16−12)(8−3)−(8−3)=2(4)(5)−5=40−5=352(16 - 12)(8 - 3) - (8 - 3) = 2(4)(5) - 5 = 40 - 5 = 35 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

More questions from this topic