Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2−9x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k
fonksiyonunun yerel minimum değeri, yerel maksimum değerinin yarısına eşittir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

  1. 59Answer
  2. B
    54
  3. C
    41
  4. D
    27
  5. E
    -37

Answer

59 değeri
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kökler x=−1x = -1 (yerel maksimum noktası) ve x=3x = 3 (yerel minimum noktası) olur. Bu apsis değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k+5k+5, yerel minimum değeri ise k−27k-27 olarak bulunur. Yerel minimum değerinin, yerel maksimum değerinin yarısına eşitlendiği denklem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyiniz.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde türevinin sıfır olduğu noktalardır.
2
Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.
3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını belirleyiniz.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) olur. Dolayısıyla, x=−1x = -1 yerel maksimum noktası ve x=3x = 3 yerel minimum noktasıdır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yer yerel maksimum, eksiden artıya geçtiği yer ise yerel minimum noktasıdır.
4
Fonksiyonda yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini yazarak aralarındaki ilişkiyi kurup kk değerini çözünüz.
Yerel maksimum değeri: f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+k=k+5f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + k = k + 5
Yerel minimum değeri: f(3)=33−3(3)2−9(3)+k=k−27f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + k = k - 27
Verilen kurala göre: f(3)=f(−1)2  ⟹  k−27=k+52  ⟹  2k−54=k+5  ⟹  k=59f(3) = \frac{f(-1)}{2} \implies k - 27 = \frac{k + 5}{2} \implies 2k - 54 = k + 5 \implies k = 59 bulunur.
Yerel minimum değerinin yerel maksimum değerinin yarısı olduğu bilgisi kullanılarak cebirsel eşitlik çözülür.

Key Concept

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının koordinatlarının belirlenmesi ve fonksiyon değerleri arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic