Examkin

Question

Difficulty: MediumMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü üzerinde olan bir dikdörtgen tasarlanıyor. Bu dikdörtgenin alanı en büyük değerini aldığında, parabol üzerindeki köşesinin koordinatları olan (x,y)(x, y) ikilisi nedir?

Answer: (2, 8) / (2,8) / 2,8 / 2, 8

Answer

Dikdörtgenin alanını maksimum yapan parabol üzerindeki köşenin koordinatları (2, 8) ikilisidir.
Alanı en büyük yapan x değeri, alan fonksiyonunun türevinin sıfır olduğu yerdir. Bu değer x = 2'dir ve parabole yerleştirildiğinde y = 8 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x2)=12x−x3A(x) = x \cdot (12 - x^2) = 12x - x^3
Birinci bölgedeki köşenin koordinatları (x,y)(x, y) ve y=12−x2y = 12 - x^2 olduğundan dikdörtgenin kenar uzunlukları xx ve 12−x212 - x^2 birimdir. Alan bu iki değerin çarpımıdır.
2
Alan fonksiyonunun birinci t��revini alıp sıfıra eşitleyin.
A′(x)=12−3x2=0  ⟹  x2=4A'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için türevinin sıfır olduğu kritik noktalar incelenmelidir.
3
Kritik noktayı ve buna karşılık gelen y değerini belirleyin.
x=2x = 2 için y=12−22=8y = 12 - 2^2 = 8
Dikdörtgen birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 olmalıdır, bu yüzden x=2x = 2 kökü seçilir. Parabol denkleminde yerine yazılarak yy koordinatı bulunur.

Key Concept

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Maksimum ve Minimum Problemleri

More questions from this topic