Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Ortak çarpanı 22 olan bir geometrik dizinin ilk 66 teriminin toplamı, ilk 33 teriminin toplamından 112112 fazladır. Buna göre, bu dizinin ikinci terimi kaçtır?

Answer: 4

Answer

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülüyle hesaplanır. Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 olduğundan, ilk 6 teriminin toplamı S6=a1⋅(26−1)=63a1S_6 = a_1 \cdot (2^6 - 1) = 63a_1 ve ilk 3 teriminin toplamı S3=a1⋅(23−1)=7a1S_3 = a_1 \cdot (2^3 - 1) = 7a_1 olur. İki toplam arasındaki fark S6−S3=56a1=112S_6 - S_3 = 56a_1 = 112 olarak verildiğinden ilk terim a1=2a_1 = 2 bulunur. Buradan ikinci terim a2=a1⋅r=2⋅2=4a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü tanımlama
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
İlk 6 ve ilk 3 terim toplamların�� ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için genel formül kurulur.
2
Ortak çarpan r=2r=2 değerini kullanarak S6S_6 ve S3S_3 toplamlarını a1a_1 cinsinden hesaplama
S6=63a1S_6 = 63a_1 ve S3=7a1S_3 = 7a_1
Verilen toplamları tek bir bilinmeyen olan a1a_1 parametresine indirgemek amacıyla r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılır.
3
Verilen fark ilişkisini kullanarak ilk terim olan a1a_1 değerini bulma
56a1=112  ⟹  a1=256a_1 = 112 \implies a_1 = 2
Dizinin diğer terimlerini hesaplayabilmek için öncelikle birinci terim (a1a_1) bulunur.
4
Dizinin ikinci terimi olan a2a_2 değerini hesaplama
a2=2⋅2=4a_2 = 2 \cdot 2 = 4
Geometrik dizinin tanımı gereği ikinci terim, ilk terimin ortak çarpan ile çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide ilk nn terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arası geçiş
Rate this question

Topics

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

More questions from this topic