Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k fonksiyonunun yerel maks… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k

fonksiyonunun yerel maksimum noktası

A

, yerel minimum noktası

B

'dir.

$A$ ve $B$ noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, $k$ kaçtır?

-6

Doğru cevap

-6

'dır.

f(x)

fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen

x=1

x=3

noktaları yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Bu apsisler fonksiyonda yerine yazıldığında ekstremum noktaları

A(1, k+4)

B(3, k)

olarak elde edilir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi

-2

ve denklemi

y = -2x + 6 + k

olur. Doğru orijinden geçtiği için sabit terimi sıfır olmalıdır, buradan

6 + k = 0 \implies k = -6

elde edilir.

Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleme.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)

elde edilir. Türevin kökleri

x = 1

x = 3

olarak bulunur.

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktalarının apsis adaylarıdır.

Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının koordinatlarını bulma.

x = 1

için yerel maksimum noktası

A(1, k+4)

x = 3

için yerel minimum noktası

B(3, k)

olarak bulunur.

Apsisleri fonksiyonda yerine yazarak ekstremum noktalarının ordinatlarını

k

cinsinden elde etmek gerekir.

İki noktadan geçen doğrunun denklemini yazma.

A(1, k+4)

B(3, k)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

m = \frac{k - (k+4)}{3-1} = -2

olur. Doğrunun denklemi

y - k = -2(x - 3) \implies y = -2x + 6 + k

olarak bulunur.

Ekstremum noktalarından geçen doğruyu tanımlamak için iki noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.

Doğrunun orijinden geçmesi şartını uygulayarak

k

değerini bulma.

Doğru

(0,0)

noktasından geçtiği için

0 = -2(0) + 6 + k \implies k = -6

bulunur.

Orijinden geçen doğruların denklemleri

y = mx

formundadır, yani sabit terimleri sıfır olmalıdır.

Bir fonksiyonun türevini kullanarak yerel ekstremum noktalarını bulma ve bu noktalar yardımıyla analitik geometri kurallarını uygulama.

Question