Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
aa ve bb birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde
f(x)=x2−2ax+bf(x) = x^2 - 2ax + b
g(x)=x2−2bx+ag(x) = x^2 - 2bx + a
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası ise T2T_2 dir.
T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi −5-5 ve bu tepe noktalarının ordinatları toplamı −10-10 dur.

Buna göre, bu iki parabolün simetri eksenleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. 232\sqrt{3}Answer
  2. B
    2
  3. C
    4
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    222\sqrt{2}

Answer

Parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık 232\sqrt{3} birimdir.
Parabollerin tepe noktaları doğru belirlendikten sonra, eğim ve ordinat ilişkileri kullanılarak a+b=4a+b = 4 ve a2+b2=14a^2+b^2 = 14 denklemleri elde edilir. Simetri eksenleri arasındaki uzaklık ∣a−b∣|a-b| olup, özdeşlik yardımıyla bu değer 232\sqrt{3} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabollerin tepe noktalarının koordinatlarını parametreler cinsinden yazalım.
f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(a,b−a2)T_1(a, b-a^2) ve g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(b,a−b2)T_2(b, a-b^2) olarak bulunur.
Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle, ordinatı ise fonksiyon değeriyle belirlenir.
2
T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimini bulup verilen eğim değerine eşitleyelim.
Eğim m=(a−b2)−(b−a2)b−a=−(1+a+b)m = \frac{(a-b^2) - (b-a^2)}{b-a} = -(1+a+b) olarak sadeleşir. −5=−(1+a+b)  ⟹  a+b=4-5 = -(1+a+b) \implies a+b = 4 elde edilir.
İki noktası bilinen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıdır.
3
Tepe noktalarının ordinatları toplamı ilişkisini kullanalım.
k1+k2=(b−a2)+(a−b2)=(a+b)−(a2+b2)=−10k_1 + k_2 = (b-a^2) + (a-b^2) = (a+b) - (a^2+b^2) = -10 denkleminde a+b=4a+b = 4 yazılırsa a2+b2=14a^2+b^2 = 14 bulunur.
Tepe noktalarının ordinatları toplamının −10-10 olduğu verilmiştir.
4
Simetri eksenleri arasındaki uzaklık olan ∣a−b∣|a-b| değerini hesaplayalım.
(a−b)2=2(a2+b2)−(a+b)2=2(14)−42=12(a-b)^2 = 2(a^2+b^2) - (a+b)^2 = 2(14) - 4^2 = 12 elde edilir. Buradan ∣a−b∣=12=23|a-b| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} bulunur.
Sırasıyla x=ax=a ve x=bx=b simetri eksenleri arasındaki uzaklık ∣a−b∣|a-b| ifadesidir.

Key Concept

Parabolün tepe noktası ve simetri ekseninin geometrik ve cebirsel özellikleri
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic