Examkin

Question

Difficulty: Very hardParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a
g(x)=−x2+(8a+2)x−16a2−5a−3g(x) = -x^2 + (8a+2)x - 16a^2 - 5a - 3
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2 olduğuna göre, aa parametresi değiştikçe T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

  1. A
    25\frac{2}{5}
  2. 2Answer
  3. C
    52\frac{5}{2}
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    95\frac{9}{5}

Answer

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 2 birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru bir şekilde T1(a,−a)T_1(a, -a) ve T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2) olarak bulunduktan sonra, iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla elde edilen 25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 ifadesinin en küçük değeri a=1/5a = 1/5 için 4 olur. Bu değerin karekökü alındığında en küçük uzaklık 2 birim olarak bulunur. Bu nedenle 2 birim olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) parabol��nün tepe noktası olan T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını bulalım.
T1(a,−a)T_1(a, -a)
Tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a=−ak_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a = -a olarak elde edilir.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası olan T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını bulalım.
T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2)
Tepe noktasının apsisi r2=−8a+22(−1)=4a+1r_2 = -\frac{8a+2}{2(-1)} = 4a+1 ve ordinatı g(4a+1)=−(4a+1)2+2(4a+1)2−16a2−5a−3=3a−2g(4a+1) = -(4a+1)^2 + 2(4a+1)^2 - 16a^2 - 5a - 3 = 3a-2 olarak elde edilir.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığı veren d(a)d(a) fonksiyonunu oluşturalım.
d(a)=(3a+1)2+(4a−2)2d(a) = \sqrt{(3a+1)^2 + (4a-2)^2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} kullanılarak koordinat farkları yerine yazılır.
4
Kökün içerisindeki tam kare ifadeleri açarak düzenleyelim.
d(a)2=25a2−10a+5d(a)^2 = 25a^2 - 10a + 5
(3a+1)2=9a2+6a+1(3a+1)^2 = 9a^2+6a+1 ve (4a−2)2=16a2−16a+4(4a-2)^2 = 16a^2-16a+4 ifadeleri toplanarak sadeleştirilir.
5
İkinci dereceden bu ifadenin en küçük değerini bulup karekökünü alalım.
En küçük uzaklık 2 birimdir.
25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 parabolünün en küçük değeri tepe noktasında, yani a=15a = \frac{1}{5} için gerçekleşir. Bu değer 1−2+5=41 - 2 + 5 = 4 olup, karekökü alındığında minimum uzaklık 4=2\sqrt{4} = 2 bulunur.

Key Concept

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Rate this question

Topics

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

More questions from this topic