Bir gezegenin etrafında dairesel yörüngelerde dolanmakta olan K ve L yapay uydularının yör… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir gezegenin etrafında dairesel yörüngelerde dolanmakta olan $K$ ve $L$ yapay uydularının yörünge yarıçapları sırasıyla $r$ ve $4r$ 'dir.

Buna göre, uyduların hareketiyle ilgili;

I. $K$ uydusunun dolanım periyodu $T$ ise, $L$ uydusunun dolanım periyodu $8T$ 'dir.
II. $K$ uydusunun çizgisel hızı, $L$ uydusunun çizgisel hızının $2$ katıdır.
III. $K$ uydusuna etki eden kütle çekim kuvvetinin büyüklüğ��, $L$ uydusuna etki edenden daha büyüktür.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A
Yalnız I
B
Yalnız II
I ve IIAnswer
D
I ve III
E
I, II ve III

Answer

I ve II öncüllerinin belirttiği durumlar kesinlikle doğrudur.

Kepler'in Üçüncü Yasası'na göre uyduların yörünge yarıçaplarının küpü ile periyotlarının karesi orantılıdır. Yarıçapı

r

4r

olan uyduların periyotları sırasıyla

T

8T

olur. Ayrıca dairesel yörüngede dolanan uyduların çizgisel hızları yörünge yarıçaplarının karekökü ile ters orantılı olduğundan,

K

uydusunun çizgisel hızı

L

uydusunun 2 katı olur. Uyduların kütleleri bilinmediği için üzerlerine etki eden kütle çekim kuvvetleri kesin olarak kıyaslanamaz. Bu nedenle 'I ve II' ifadesinin yer aldığı seçenek kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

Kepler'in Üçüncü Yasası'nı (Periyotlar Yasası) uygulayarak uyduların periyotları arasındaki ilişkiyi belirlemek.

T_L = 8T_K

ilişkisi elde edilir.

K

uydusunun periyodu

T

ise,

L

uydusunun periyodu

8T

olur. Dolayısıyla I. öncül kesinlikle doğrudur.

Bir gezegen etrafında dolanan tüm uydular için ortalama yörünge yarıçapının küpünün, dolanım periyodunun karesine oranı sabittir:

\frac{r_K^3}{T_K^2} = \frac{r_L^3}{T_L^2} \Rightarrow \frac{r^3}{T^2} = \frac{(4r)^3}{T_L^2} \Rightarrow T_L^2 = 64T^2 \Rightarrow T_L = 8T

Kütle çekim kuvvetini merkezcil kuvvete eşitleyerek uyduların çizgisel hızları arasındaki ilişkiyi bulmak.

v_K = 2v_L

ilişkisi elde edilir.

K

uydusunun çizgisel hızı,

L

uydusunun çizgisel hızının

2

katıdır. Dolayısıyla II. öncül kesinlikle doğrudur.

Dairesel yörüngede dolanan uyduya etki eden kütle çekim kuvveti, merkezcil kuvvete eşittir:

G\frac{M\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}

. Çizgisel hız yarıçapın karekökü ile ters orantılıdır:

v_K \propto \frac{1}{\sqrt{r}}

v_L \propto \frac{1}{\sqrt{4r}} = \frac{1}{2\sqrt{r}}

olduğundan

v_K = 2v_L

olur.

Kütle çekim kuvveti formülü üzerinden uydulara etki eden kuvvetlerin büyüklüklerini karşılaştırmak.

Uyduların kütleleri (

m_K

m_L

) bilinmediği için kütle çekim kuvvetlerinin büyüklükleri kesin olarak kıyaslanamaz. Dolayısıyla III. öncül kesin değildir.

Gezegenin uydulara uyguladığı kütle çekim kuvveti

F = G\frac{M\cdot m}{r^2}

formülü ile bulunur. Kuvvet hem yörünge yarıçapına hem de uydunun kendi kütlesine bağlıdır. Uyduların kütleleri verilmediği için kuvvet büyüklükleri kesin olarak karşılaştırılamaz.

Key Concept

Kepler'in Periyotlar Yasası ve Yörünge Hızı

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic