Examkin

Question

Difficulty: MediumAritmetik Dizi ve Özellikleri
Ortak farkı sıfırdan farklı ve terimleri sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı kaçtır?

Answer: 2

Answer

İstenen oran 2'dir.
Verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 denkleminde her terim a1a_1 ve rr cinsinden yazıldığında, denklemin sol tarafı a12+5a1r+6r2a_1^2 + 5a_1r + 6r^2, sağ tarafı ise a12+7a1ra_1^2 + 7a_1r olur. Buradan a12a_1^2 terimleri sadeleşir ve 6r2=2a1r6r^2 = 2a_1r kalır. Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için bu eşitlikten a1=3ra_1 = 3r bulunur. İstenen a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı ise a1+5ra1+r\frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} şeklindedir. Burada a1a_1 yerine 3r3r yazılırsa oran 8r4r=2\frac{8r}{4r} = 2 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Aritmetik dizinin terimlerini birinci terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden yazın.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r ve a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r olarak ifade edilir.
Tüm bilinmeyen terimleri aynı iki temel değişken cinsinden ifade ederek ortak bir denklem çözümü elde etmek.
2
Bu terimleri verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 eşitliğinde yerine yazın ve denklemi sadeleştirin.
(a1+2r)(a1+3r)=a1(a1+7r)⇒a12+5a1r+6r2=a12+7a1r⇒6r2=2a1r(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = a_1(a_1 + 7r) \Rightarrow a_1^2 + 5a_1r + 6r^2 = a_1^2 + 7a_1r \Rightarrow 6r^2 = 2a_1r elde edilir.
Terimlerin çarpımını dağıtarak benzer terimleri sadeleştirmek ve sade bir bağıntıya ulaşmak.
3
Ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu kullanarak birinci terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulun.
a1=3ra_1 = 3r olarak bulunur.
r≠0r \neq 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafını 2r2r ile bölmekte bir sakınca yoktur.
4
Bulunan a1=3ra_1 = 3r eşitliğini kullanarak a6a2\frac{a_6}{a_2} oranını hesaplayın.
a6a2=a1+5ra1+r=3r+5r3r+r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} = \frac{3r + 5r}{3r + r} = 2 bulunur.
İstenen oranı tek bir değişken cinsinden yazıp sadeleştirerek sayısal sonuca ulaşmak.

Key Concept

Aritmetik dizinin terimlerinin genel terim formülü kullanılarak cebirsel olarak ifade edilmesi ve çözülmesi

Alternative Method

Alternatif olarak, tüm terimleri a2a_2 ve rr cinsinden yazabiliriz. a1=a2−ra_1 = a_2 - r, a3=a2+ra_3 = a_2 + r, a4=a2+2ra_4 = a_2 + 2r ve a8=a2+6ra_8 = a_2 + 6r ifadeleri denklemde yerine yazıldığında (a2+r)(a2+2r)=(a2−r)(a2+6r)⇒a22+3a2r+2r2=a22+5a2r−6r2⇒8r2=2a2r(a_2+r)(a_2+2r) = (a_2-r)(a_2+6r) \Rightarrow a_2^2 + 3a_2r + 2r^2 = a_2^2 + 5a_2r - 6r^2 \Rightarrow 8r^2 = 2a_2r olur. r≠0r \neq 0 olduğundan a2=4ra_2 = 4r bulunur. Bu durumda a6=a2+4r=8ra_6 = a_2 + 4r = 8r olacağından a6a2=8r4r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{8r}{4r} = 2 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic