Examkin

Question

Difficulty: HardParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, aa ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu noktaları köşe kabul eden ABCABC üçgeninin CC köşesindeki açısının ölçüsü 90∘90^\circ'dir.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile ilgili;
I. xx-eksenini daima farklı iki noktada keser.
II. yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı ile parabolün başkatsayısının çarpımı −1-1'dir.
III. a>0a > 0 ve b>0b > 0 ise, parabolün tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIIAnswer

Answer

I, II ve III ifadesinin yer aldığı seçenektir.
Soruda verilen diklik koşulu analitik düzlemde Öklid bağıntısı ile birleştirildiğinde başkatsayı aa ile y-kesim noktası cc arasında ac=−1ac = -1 ilişkisini verir. Bu ilişkiden yola çıkarak Δ=b2+4>0\Delta = b^2 + 4 > 0 olduğu için x-ekseni daima iki farklı noktada kesilir. Ayrıca a>0a > 0 ve b>0b > 0 durumunda tepe noktası koordinatları r<0r < 0 ve k<0k < 0 olacağından üçüncü bölgede yer alır. Bu nedenle tüm öncüller doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Eksenleri kestiği noktaları tanımlama
C(0,c)C(0, c) noktası y-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) noktaları ise x-eksenini kestiği noktalardır (x1x_1 ve x2x_2 denklemin kökleridir).
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve aralarındaki geometrik ilişkiyi kurmak için bu adım gereklidir.
2
Dik üçgen özelliğini ve Öklid bağıntısını uygulama
OC⊥ABOC \perp AB olduğundan Öklid bağıntısı gereği ∣OC∣2=∣OA∣⋅∣OB∣|OC|^2 = |OA| \cdot |OB| elde edilir. Koordinatları yerine yazarsak c2=∣x1⋅x2∣c^2 = |x_1 \cdot x_2| olur. Dik üçgen oluşabilmesi için AA ve BB noktaları orijinin farklı taraflarında olmalıdır, yani x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 olmalıdır. Vieta formülünden x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} olduğundan c2=−cac^2 = -\frac{c}{a} yazılır. c≠0c \neq 0 olduğundan ac=−1ac = -1 bulunur.
CC köşesindeki 90∘90^\circ diklik şartını cebirsel olarak ifade etmek için Öklid bağıntısı kullanılır.
3
Diskriminant analizi ile x-eksenini kestiği noktaları inceleme
Diskriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplanır. ac=−1ac = -1 yazıldığında Δ=b2+4\Delta = b^2 + 4 elde edilir. Her bb gerçel sayısı için b2≥0b^2 \geq 0 olduğundan Δ≥4>0\Delta \geq 4 > 0 olur. Bu durumda parabol x-eksenini daima farklı iki noktada keser (I. öncül doğrudur).
Parabolün x-eksenini kesip kesmediğini belirlemek için diskriminantın işaretini kontrol etmek gerekir.
4
Tepe noktasının koordinatlarını ve bölgesini inceleme
a>0a > 0 ve b>0b > 0 iken tepe noktasının apsisi r=−b2a<0r = -\frac{b}{2a} < 0 olur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(r)=−b24a+ck = f(r) = -\frac{b^2}{4a} + c şeklindedir. ac=−1ac = -1 ve a>0a > 0 olduğundan c=−1a<0c = -\frac{1}{a} < 0 olur. Dolayısıyla k=−b24a−1ak = -\frac{b^2}{4a} - \frac{1}{a} ifadesinin her iki terimi de negatif olup k<0k < 0 bulunur. Apsis ve ordinat negatif (r<0,k<0r < 0, k < 0) olduğundan tepe noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir (III. öncül doğrudur).
Verilen işaret koşulları altında tepe noktasının apsis ve ordinatının işaretlerini belirleyerek hangi bölgede yer aldığını bulmak gerekir.

Key Concept

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

More questions from this topic