Examkin

Question

Difficulty: MediumLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
lim⁡x→π41−tan⁡(x)cos⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan(x)}{\cos(2x)}

limitinin değeri kaçtır?

  1. A
    −1-1
  2. B
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 11Answer
  4. D
    22
  5. E
    −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Answer

Limit değerinin 1 olduğunu belirten seçenek doğrudur.
Limit ifadesinde x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Pay kısmındaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesi cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} şeklinde, payda kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi ise (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılır. İfadeler oranlandığında belirsizliğe yol açan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) terimleri sadeleşir. Kalan ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında limit değeri 1 olarak bulunur. Bu nedenle 1 değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak, x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
x=π4x = \frac{\pi}{4} için tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 ve cos⁡(2⋅π4)=cos⁡(π2)=0\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 olduğundan pay 1−1=01 - 1 = 0, payda ise 00 olur. Bu durumda 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Belirsizlik türünü tespit edip uygun çözüm yöntemini (trigonometrik sadeleştirme) belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
Pay ve paydadaki ifadeler trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilebilir hale getirilir.
Pay kısmında tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} yazılarak payda eşitlenir:
1−tan⁡(x)=1−sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)1 - \tan(x) = 1 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

Payda kısmında ise yarım açı formülü kullanılarak iki kare farkı açılımı yapılır:
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))
Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı (ortak sıfır noktasını) ortaya çıkarmak için ifadeler çarpanlarına ayrılır.
3
Elde edilen ifadeler birbirine oranlanarak ortak olan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) çarpanları sadeleştirilir.
Limit ifadesi şu şekle dönüşür:
lim⁡x→π4cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))=lim⁡x→π41cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}}{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}
Sıfır değerini üreten çarpanların sadeleştirilmesiyle belirsizlik giderilmiş olur.
4
Belirsizlik giderildikten sonra x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri sadeleşmiş ifadede yerine yazılarak limit değeri hesaplanır.
1cos⁡(π4)⋅(cos⁡(π4)+sin⁡(π4))=122⋅(22+22)=122⋅2=122=1\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2}} = 1
Belirsizlik giderildiği için fonksiyonun o noktadaki limiti, doğrudan sadeleşmiş ifadenin fonksiyon değerine eşit olur.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler ve yarım açı formülleri kullanılarak 00\frac{0}{0} belirsizliğinin giderilmesi.

Alternative Method

L'Hospital kuralı kullanılarak da bu limit hesaplanabilir. Pay ve paydanın türevi alındığında:
lim⁡x→π4−sec⁡2(x)−2sin⁡(2x)=lim⁡x→π412cos⁡2(x)sin⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2(x)}{-2\sin(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2\cos^2(x)\sin(2x)}
Değerler yerine yazılırsa:
12⋅(22)2⋅sin⁡(π2)=12⋅12⋅1=1\frac{1}{2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1} = 1
bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic