Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,
a=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xa = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}
c=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    c<a<bc < a < b
  2. B
    a=b<ca = b < c
  3. a<c<ba < c < bAnswer
  4. D
    b<a<cb < a < c
  5. E
    c<b<ac < b < a

Answer

a < c < b sıralaması doğrudur.
Sadeleştirmeler yapıldığında a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x, b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x elde edilir. Verilen aralıkta a<0a < 0, c>0c > 0 ve b>0b > 0 olduğu belirlenir. bb ve cc arasındaki fark incelendiğinde b>cb > c olduğu görülür. Dolayısıyla en küçük negatif olan aa, ardından cc ve en büyük pozitif olan bb şeklinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ve a<0a < 0
Pay kısmındaki sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x ifadesi, küp toplamı formülüyle (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 1−sin⁡xcos⁡x1 - \sin x \cos x ile sadeleştiğinde a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x kalır. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan toplamları da negatiftir.
2
b ifadesini karekök dışına çıkarma ve işaretini belirleme
b=−(sin⁡x+cos⁡x)b = -(\sin x + \cos x) ve b>0b > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliğinden faydalanarak b=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣b = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir. Üçüncü bölgede sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, ifade mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar.
3
c ifadesini sadeleştirme ve işaretini belirleme
c=tan⁡x−cot⁡xc = \tan x - \cot x ve c>0c > 0
c=sin⁡2xsin⁡xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=tan⁡x−cot⁡xc = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} = \tan x - \cot x olur. x∈(5π4,4π3)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığında x>5π4x > \frac{5\pi}{4} olduğundan tan⁡x>tan⁡5π4=1\tan x > \tan\frac{5\pi}{4} = 1 ve cot⁡x=1tan⁡x<1\cot x = \frac{1}{\tan x} < 1 olur. Pozitif iki değerin farkından c=tan⁡x−cot⁡x>0c = \tan x - \cot x > 0 bulunur.
4
b ve c ifadelerini karşılaştırma
b>cb > c
b−c=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)(1+sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x)b - c = -(\sin x + \cos x) - \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -(\sin x + \cos x)\left(1 + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}\right) olur. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan sin⁡xcos⁡x>cos⁡x−sin⁡x>0\sin x \cos x > \cos x - \sin x > 0 eşitsizliği sağlanır. Buradan b−c>0b - c > 0 yani b>cb > c elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaret analizi ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi

Alternative Method

Sıralamayı doğrulamak için aralıktan temsilî bir açı seçilebilir. Örneğin x=230∘x = 230^\circ seçilerek fonksiyonların yaklaşık değerleri hesaplanabilir: a≈−0.77−0.64=−1.41a \approx -0.77 - 0.64 = -1.41, b≈1.41b \approx 1.41, c=tan⁡230∘−cot⁡230∘≈1.19−0.84=0.35c = \tan 230^\circ - \cot 230^\circ \approx 1.19 - 0.84 = 0.35. Buradan a<c<ba < c < b sıralaması kolayca görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

More questions from this topic