Her n \in \mathbb{Z}^+ için a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (a_n) geometrik dizisinde, a_1 + a_2 + a_3 = 7 a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, \log_4(a_{11}) ifadesinin değeri kaçtır?

Her n \in \mathbb{Z}^+ için a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (a_n) geome… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her $n \in \mathbb{Z}^+$ için $a_n > 0$ olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_1 + a_2 + a_3 = 7

a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_4(a_{11})$ ifadesinin değeri kaçtır?

A
4
B
\dfrac{11}{2}
C
10
5Answer
E
6

Answer

Doğru cevap 5 değeridir.

Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi

2^{10}

olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Step-by-Step Solution

Dizinin terimlerini ilk terim

a_1 = a

ve ortak çarpan

r

cinsinden ifade etmek.

a(1 + r + r^2) = 7

a^2(1 + r^2 + r^4) = 21

denklemleri elde edilir.

Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.

1 + r^2 + r^4

ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.

1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2)

özdeşliği kullanılarak ikinci denklem

a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21

şeklinde yazılır.

Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.

Birinci denklemdeki

a(1 + r + r^2) = 7

değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.

7 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3

denklemi elde edilir.

Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.

Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak

a

r

değerlerini belirlemek.

Taraf tarafa çıkarma ile

2ar = 4 \implies ar = 2

ve toplama ile

a(1+r^2) = 5

bulunur. Buradan

r=2

a_1=1

elde edilir.

Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.

Dizinin genel terim formülünü oluşturup

a_{11}

terimini hesaplamak.

a_n = 2^{n-1}

genel teriminden

a_{11} = 2^{10}

olarak bulunur.

Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.

İstenen

\log_4(a_{11})

ifadesini hesaplamak.

\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5

sonucu bulunur.

Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Key Concept

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic