Examkin

Question

Difficulty: HardParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Dik koordinat düzleminde, bir köprünün kemerini temsil eden f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolü ve bu kemerin tepe noktası ile orijini birleştiren lineer bir destek kirişi (doğru parçası) modellenmiştir. Bu köprüye, kemer ile destek kirişi arasına yy-eksenine paralel olacak şekilde düşey destek kolonları yerleştirilecektir.

Buna göre, yerleştirilecek düşey destek kolonunun uzunluğu en fazla olduğunda, bu kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

  1. 252\sqrt{5}Answer
  2. B
    222\sqrt{2}
  3. C
    353\sqrt{5}
  4. D
    5\sqrt{5}
  5. E
    454\sqrt{5}

Answer

Kolonun uzunluğunun en fazla olduğu durumda, kolonun destek kirişi ��zerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı 252\sqrt{5} birimdir.
Düşey destek kolonunun uzunluğu parabol ile doğru arasındaki fark olan g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri x=2x = 2 noktasında gerçekleşir. Kolonun destek kirişi (y=2xy = 2x) üzerindeki ucu bu apsis değerinde (2,4)(2, 4) noktasıdır. Bu noktanın parabolün tepe noktası olan T(4,8)T(4, 8) noktasına olan uzaklığı ise (4−2)2+(8−4)2=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = 2\sqrt{5} birimdir.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma.
Tepe noktası T(4,8)T(4, 8) olarak bulunur.
f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolünde tepe noktasının apsisi r=−b2a=−42⋅(−1/2)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1/2)} = 4 ve ordinatı k=f(4)=−12(4)2+4(4)=8k = f(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) = 8 olur.
2
Orijin (0,0)(0,0) ile tepe noktası T(4,8)T(4,8) arasından geçen doğrunun denklemini bulma.
Doğru denklemi y=2xy = 2x olarak bulunur.
Orijinden geçen doğruların genel denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Eğimi m=8−04−0=2m = \frac{8 - 0}{4 - 0} = 2 olduğundan denklem y=2xy = 2x olur.
3
Düşey destek kolonunun uzunluğunu veren fonksiyonu tanımlama.
Kolon uzunluğu fonksiyonu g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x olarak elde edilir.
0≤x≤40 \le x \le 4 aralığında parabol doğrunun üst kısmında yer aldığından, düşey kolonun uzunluğu parabolün ordinatı ile doğrunun ordinatı arasındaki farka eşittir: g(x)=f(x)−2x=−12x2+4x−2xg(x) = f(x) - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 2x.
4
Düşey kolonun uzunluğunu maksimum yapan apsis değerini bulma.
Maksimum kolon uzunluğu x=2x = 2 apsisinde elde edilir.
g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x ikinci dereceden fonksiyonunun (parabolünün) kolları aşağı doğru olup en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi rg=−22⋅(−1/2)=2r_g = -\frac{2}{2 \cdot (-1/2)} = 2 olur.
5
Maksimum uzunluktaki kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun koordinatlarını belirleme.
Uç noktanın koordinatları (2,4)(2, 4) olur.
Destek kirişi y=2xy = 2x doğrusu üzerinde olduğundan, x=2x = 2 için y değeri 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 olarak bulunur.
6
Destek kirişi üzerindeki ucun tepe noktasına olan uzaklığını hesaplama.
Uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden, (2,4)(2, 4) noktasının T(4,8)T(4, 8) noktasına uzaklığı (4−2)2+(8−4)2=4+16=20=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} birimdir.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini tepe noktası (r,kr, k) yardımıyla bulma ve koordinat geometrisi uygulamaları.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

More questions from this topic