Düşey doğrultuda duran ideal ve kütlesi önemsiz bir yayın üst ucunun tavana sabitlendiği b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Düşey doğrultuda duran ideal ve kütlesi önemsiz bir yayın üst ucunun tavana sabitlendiği bir sistemde, yayın alt ucuna $m$ kütleli bir cisim bağlanarak serbest bırakılıyor. Cisim, yer çekimi etkisiyle düşey doğrultuda aşağı doğru hareket ederek yayı en fazla $x$ kadar uzatıyor ve bu noktada anlık olarak duruyor.

Buna göre, cismin serbest bırakıldığı andan yayı en fazla uzattığı ana kadar geçen süreçle ilgili;

I. Kinetik enerjisinin en büyük olduğu anda yaydaki uzama miktarı $\frac{x}{2}$ kadardır.
II. Cismin hareketi boyunca cismin mekanik enerjisi korunmuştur.
III. Cisim maksimum uzama noktasına ulaştığında, yer çekimi kuvvetinin cisim üzerinde yaptığı iş, yay kuvvetinin yaptığı işe büyüklükçe eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur? (Sürtünmeler ve havanın direnci önemsizdir.)

A
Yalnız I
B
Yalnız II
C
I ve II
I ve IIIAnswer
E
I, II ve III

Answer

Birinci ve üçüncü öncüllerin doğru, ikinci öncülün ise yanlış olduğunu belirten seçenek doğru cevaptır.

Cisim net kuvvetin sıfır olduğu denge konumunda maksimum hıza ve dolayısıyla maksimum kinetik enerjiye ulaşır. Denge konumundaki uzama miktarı

y = \frac{mg}{k}

olup maksimum uzama miktarı olan

x = \frac{2mg}{k}

değerinin yarısına eşittir. Cismin ilk ve son hızları sıfır olduğundan net kuvvetin yaptığı iş sıfırdır, bu da yer çekimi kuvvetinin yaptığı iş ile yay kuvvetinin yaptığı işin büyüklükçe eşit olduğunu gösterir. Yay kuvveti cisim üzerinde negatif iş yaptığından cismin mekanik enerjisi azalır ve korunmaz. Bu nedenle birinci ve üçüncü ifadelerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

Cismin maksimum uzama miktarı ile sistem parametreleri arasındaki ilişkiyi enerji korunumuyla bulmak.

Cisim serbest bırakılıp maksimum

x

kadar uzad��ğında kinetik enerjisi yine sıfır olur. Bu süreçte yer çekimi potansiyel enerjisindeki azalma, yay potansiyel enerjisindeki artışa eşit olur:

mgx = \frac{1}{2}kx^2 \implies x = \frac{2mg}{k}

elde edilir.

Maksimum uzama noktasındaki sistem durumunu analiz etmek.

Cismin hızının ve kinetik enerjisinin en büyük olduğu konumu belirlemek.

Cismin kinetik enerjisinin en büyük olması, hızının maksimum olması demektir. Hızın maksimum olduğu anda ivme sıfırdır, yani net kuvvet sıfırdır:

F_{\text{net}} = mg - ky = 0 \implies y = \frac{mg}{k}

. Maksimum uzama

x = \frac{2mg}{k}

olduğundan, bu konum

y = \frac{x}{2}

olarak bulunur. Birinci öncül doğrudur.

Net kuvvetin sıfır olduğu denge konumunun kinetik enerjinin maksimum olduğu anı temsil ettiğini göstermek.

Maksimum uzama noktasına kadar yer çekimi kuvveti ve yay kuvvetinin yaptığı işleri iş-enerji teoremiyle karşılaştırmak.

Cisim serbest bırakıldığı anda durmaktadır ve maksimum uzama noktasında da anlık olarak durur. Başlangıç ve son kinetik enerjiler sıfır olduğundan net iş sıfırdır:

W_{\text{net}} = W_g + W_s = 0 \implies W_g = -W_s

. Buradan yer çekimi kuvvetinin yaptığı işin (

mgx

) yay kuvvetinin yaptığı işe (

-\frac{1}{2}kx^2

) büyüklükçe eşit olduğu görülür. Üçüncü öncül doğrudur.

İş-enerji teoreminden yararlanarak yapılan işleri ilişkilendirmek.

Cismin tek başına mekanik enerjisinin korunup korunmadığını analiz etmek.

Mekanik enerji, cismin kinetik enerjisi ile yer çekimi potansiyel enerjisinin toplamıdır. Yay kuvveti cisme dışarıdan uygulanan bir kuvvet olarak davranır ve cismin hareketi yönüne ters yönde etki ederek negatif iş (

W_s < 0

) yapar. Dış kuvvetlerin iş yaptığı durumlarda cismin mekanik enerjisi korunmaz, azalır. İkinci öncül yanlıştır.

Cismin mekanik enerjisinin neden korunmadığını açıklamak.

Key Concept

Düşey yay-sarkaç sistemlerinde iş-enerji ilişkisi, kuvvet dengesi ve mekanik enerjinin korunumu

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic