Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a2⋅a6=36a1+a7=15\begin{aligned} a_2 \cdot a_6 &= 36 \\ a_1 + a_7 &= 15 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?

Answer: 24

Answer

Artan geometrik dizinin özellikleri kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda onuncu terim olan a10a_{10} değeri 24 olarak bulunur.
Dizinin artan özelliğinden yola çıkılarak birinci terim 3, yedinci terim 12 olarak bulunur. Ortak çarpanın küpü r3=2r^3 = 2 elde edilir ve buradan onuncu terim a7⋅r3=12⋅2=24a_7 \cdot r^3 = 12 \cdot 2 = 24 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
a2⋅a6=36a_2 \cdot a_6 = 36 eşitliğini kullanarak a4a_4 terimini bulma.
a4=6a_4 = 6
Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir: a2⋅a6=a4⋅a4=a42a_2 \cdot a_6 = a_4 \cdot a_4 = a_4^2.
2
a1⋅a7a_1 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36
Aynı indis özelliği gereği a1⋅a7=a42a_1 \cdot a_7 = a_4^2 eşitliği geçerlidir.
3
a1+a7=15a_1 + a_7 = 15 ve a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36 denklem sistemini çözme.
{a1,a7}={3,12}\{a_1, a_7\} = \{3, 12\}
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar kök bulma yöntemi veya çarpanlara ayırma ile 3 ve 12 olarak elde edilir.
4
Artan dizi şartına göre a1a_1 ve a7a_7 değerlerini atama.
a1=3a_1 = 3 ve a7=12a_7 = 12
Dizi artan olduğundan ilk terim yedinci terimden küçük olmalıdır.
5
Dizinin ortak çarpanının küpünü (r3r^3) hesaplama.
r3=2r^3 = 2
a7=a1⋅r6  ⟹  12=3⋅r6  ⟹  r6=4  ⟹  r3=2a_7 = a_1 \cdot r^6 \implies 12 = 3 \cdot r^6 \implies r^6 = 4 \implies r^3 = 2 olur.
6
a10a_{10} teriminin değerini hesaplama.
a10=24a_{10} = 24
a10=a7⋅r3a_{10} = a_7 \cdot r^3 eşitliği kullanılarak 12⋅2=2412 \cdot 2 = 24 elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide terimlerin indis özellikleri (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve genel terim formülü.
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic