Examkin

Question

Difficulty: Very hardRiemann Toplamı

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun [0,1][0, 1] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir bölüntü oluşturulmaktadır. Bu bölüntüye bağlı Riemann alt toplamı AnA_n, Riemann üst toplamı U¨nÜ_n ve Riemann orta toplamı OnO_n olarak belirleniyor. Buna göre, her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

İfade doğrudur.
Doğru olan seçenektir. f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonu dışbükey olduğu için, grafiğin teğetlerinin altında kalmasından ötürü Riemann orta toplamı integralden küçük, kirişlerinin üzerinde kalmasından ötürü ise alt-üst Riemann toplamlarının ortalaması integralden büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun türevlerini alarak bükülme yönünü (konvekslik durumunu) belirleyin.
f′(x)=exf'(x) = e^x ve f′′(x)=exf''(x) = e^x bulunur. Her x∈[0,1]x \in [0, 1] için f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan, fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında kesinlikle dışbükeydir.
Fonksiyonun grafik bükülme yönü, Riemann toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini geometrik olarak belirler.
2
Dışbükey bir fonksiyon için Riemann orta toplamı (OnO_n) ile integral alanı arasındaki ilişkiyi analiz edin.
Dışbükey bir fonksiyonda, herhangi bir noktadan çizilen teğet doğrusu daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Her alt aralığın orta noktası mim_i için f(x)>f(mi)+f′(mi)(x−mi)f(x) > f(m_i) + f'(m_i)(x - m_i) eşitsizliği (orta nokta hariç) ge��erlidir. Bu eşitsizlik aralık boyunca entegre edildiğinde, orta toplam dikdörtgeninin alanının integralden daha küçük olduğu görülür. Tüm aralıklar toplandığında On<∫01ex dxO_n < \int_0^1 e^x \, dx elde edilir.
Teğetlerin grafiğin altında kalması özelliğinin Riemann orta toplamı üzerindeki etkisini matematiksel olarak göstermek amacıyla yapılır.
3
Riemann alt (AnA_n) ve üst (U¨nÜ_n) toplamlarının aritmetik ortalamasının geometrik anlamını inceleyin ve integral ile karşılaştırın.
Eşit alt aralıklı bir bölüntüde, alt ve üst Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması Yamuk Yöntemi alanına karşılık gelir: An+U¨n2=∑i=1nf(xi−1)+f(xi)2Δx\frac{A_n + Ü_n}{2} = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x. Dışbükey fonksiyonlarda grafik üzerindeki iki noktayı birleştiren kirişler daima grafiğin üstünde yer alır. Dolayısıyla bu yamukların alanları toplamı integralden büyüktür: ∫01ex dx<An+U¨n2\int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2}.
Kirişlerin grafik üstünde kalması prensibini yamukların alan toplamıyla ilişkilendirip integralden büyük olduğunu göstermek için yapılır.
4
Bulunan iki eşitsizlik sonucunu birleştirerek öncülü değerlendirin.
Analiz edilen iki parçadan On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için her zaman sağlandığı doğrulanmış olur.
Soruda sunulan genel iddianın kesin doğruluğunu kanıtlamak için adımlar birleştirilir.

Key Concept

Dışbükey (konveks) fonksiyonlarda Riemann toplamları, belirli integral ve yamuk alanı arasındaki geometrik ilişkiler.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic