Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı
kk pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=k(4−x2)f(x) = k(4 - x^2)
fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığı, her birinin uzunluğu 11 birim olan 22 eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile ff fonksiyonunun [0,2][0, 2] aral��ğındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark 55 birimkaredir.

Buna göre, kk değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    53\frac{5}{3}
  2. B
    157\frac{15}{7}
  3. 33Answer
  4. D
    55
  5. E
    152\frac{15}{2}

Answer

3
Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak U¨=7kÜ = 7k olarak hesaplanır. Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integralinin değeri ise I=163kI = \frac{16}{3}k bulunur. Bu iki değer arasındaki fark olan 53k\frac{5}{3}k ifadesi 55'e eşitlendiğinde k=3k = 3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
[0,2][0, 2] aralığını 22 eş alt aralığa bölüp Riemann üst toplamını (U¨Ü) ifade edelim.
Alt aralık uzunluğu Δx=2−02=1\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1 birimdir. Alt aralıklar [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] olur. f(x)=k(4−x2)f(x) = k(4-x^2) fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan olduğundan, her bir aralıktaki maksimum değer sol uç noktalarda elde edilir. Buradan Riemann üst toplamı:
U¨=Δx⋅(f(0)+f(1))=1⋅(4k+3k)=7kÜ = \Delta x \cdot (f(0) + f(1)) = 1 \cdot (4k + 3k) = 7k olarak bulunur.
Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamını bulmak için alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerleri kullanılır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralı��ındaki belirli integralini (II) hesaplayalım.
I=∫02k(4−x2)dx=k[4x−x33]02=k(8−83)=163kI = \int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}k bulunur.
Eğrinin altında kalan net alanın değerini bulmak için belirli integral hesabı yapılır.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki farkı 55'e eşitleyerek kk değerini çözelim.
U¨−I=7k−163k=53kÜ - I = 7k - \frac{16}{3}k = \frac{5}{3}k
53k=5  ⟹  k=3\frac{5}{3}k = 5 \implies k = 3 elde edilir.
Soruda verilen fark ilişkisi kullanılarak bilinmeyen kk parametresi bulunur.

Key Concept

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic