Examkin

Question

Difficulty: Very hardAritmetik Dizi ve Özellikleri

Ortak farkı pozitif bir gerçel sayı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizi için,
S15−S12=75S_{15} - S_{12} = 75
a9⋅a19−a7⋅a21=96a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = 96

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

  1. A
    -27
  2. B
    -3
  3. -1Answer
  4. D
    0
  5. E
    1

Answer

Bu aritmetik dizinin ilk terimi −1-1'dir.
Dizinin ardışık toplamı olan S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 eşitliğinde, indislerin ortalaması kullanılarak a14=25a_{14} = 25 değeri elde edilir. İkinci denklemde terimler a14a_{14} ve ortak fark olan rr türünden yazıldığında kareler farkı sadeleşerek 24r2=9624r^2 = 96 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak genel terim formülü a14=a1+13ra_{14} = a_1 + 13r eşitliğinde veriler yerine yazılarak ilk terim −1-1 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk 15 terim toplamı ile ilk 12 terim toplamı arasındaki farkı terimler cinsinden ifade etme
S15−S12=a13+a14+a15=75S_{15} - S_{12} = a_{13} + a_{14} + a_{15} = 75 elde edilir.
SnS_n ifadesi ilk nn terim toplamını belirttiğinden, ilk 15 terimin toplamından ilk 12 terimin toplamı çıkarıldığında geriye kalan son üç terim (a13,a14,a15a_{13}, a_{14}, a_{15}) kalır.
2
Aritmetik dizilerde indis özelliklerini kullanarak ortanca terimi hesaplama
a13+a15=2a14a_{13} + a_{15} = 2a_{14} olduğu için 3a14=75⇒a14=253a_{14} = 75 \Rightarrow a_{14} = 25 bulunur.
Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşitse, terimlerin toplamları da eşittir. Burada 13+15=2×1413 + 15 = 2 \times 14 bağıntısı kullanılmıştır.
3
Çarpım terimlerini ortanca terim (a14a_{14}) ve ortak fark (rr) cinsinden yazma
a9=a14−5ra_9 = a_{14} - 5r, a19=a14+5ra_{19} = a_{14} + 5r, a7=a14−7ra_7 = a_{14} - 7r, a21=a14+7ra_{21} = a_{14} + 7r şeklinde ifade edilir.
Terimlerin a14a_{14} terimine olan uzaklıkları indis farkları üzerinden simetrik olarak yazılmıştır.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak ortak farkı (rr) bulma
a9⋅a19−a7⋅a21=(a142−25r2)−(a142−49r2)=24r2=96⇒r2=4⇒r=2a_9 \cdot a_{19} - a_7 \cdot a_{21} = (a_{14}^2 - 25r^2) - (a_{14}^2 - 49r^2) = 24r^2 = 96 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 bulunur.
İki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve dizinin ortak farkının pozitif olduğu belirtildiği için r=2r = 2 olarak alınmıştır.
5
Genel terim formülüyle ilk terimi (a1a_1) hesaplama
a14=a1+13r⇒25=a1+13⋅2⇒a1=−1a_{14} = a_1 + 13r \Rightarrow 25 = a_1 + 13 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = -1 bulunur.
Bir aritmetik dizide genel terim an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r bağıntısı ile hesaplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği, iki terimin aritmetik ortalaması ve genel terim özellikleri
Rate this question

Topics

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic