x = \log_2 3 y = \log_3 5 olduğuna göre, \log_{30} 120 ifadesinin x ve y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

x = \log_2 3 y = \log_3 5 olduğuna göre, \log_{30} 120 ifadesinin x ve y türünden eşiti aş… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x = \log_2 3

y = \log_3 5

olduğuna göre,

\log_{30} 120

ifadesinin

x

y

türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}

Logaritma taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_{30} 120

ifadesi 3 tabanında yazıldığında

\frac{\log_3 120}{\log_3 30}

elde edilir. Pay ve paydadaki ifadeler asal çarpanlarına ayrılıp

\log_3 2 = \frac{1}{x}

\log_3 5 = y

değerleri yerlerine yazıldığında rasyonel ifadelerin düzenlenmesiyle

\frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}

ifadesi bulunur.

Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve ortak tabana göre taban değiştirme uygulamak.

Verilen ifadelerde ortak sayı 3 olduğundan

\log_{30} 120

ifadesi 3 tabanına göre yazılır:

\log_{30} 120 = \frac{\log_3 120}{\log_3 30}

Soruda verilen

x

y

değerleri 2 ve 3, 3 ve 5 tabanlarındadır. Ortak taban olan 3 tabanına geçi�� yapmak çözümü kolaylaştırır.

Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmanın çarpım özelliğini uygulamak.

Pay:

\log_3 120 = \log_3(2^3 \cdot 3 \cdot 5) = 3\log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = 3\log_3 2 + 1 + \log_3 5

ve Payda:

\log_3 30 = \log_3(2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 2 + 1 + \log_3 5

Logaritma içindeki çarpım durumundaki ifadeleri toplam biçiminde yazarak bilinen değişkenleri yerleştirebilmek.

Verilen

x = \log_2 3

y = \log_3 5

değerlerini yerlerine yazmak.

\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x}

yazılır. Buradan Pay:

3\left(\frac{1}{x}\right) + 1 + y = \frac{3}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 3}{x}

ve Payda:

\frac{1}{x} + 1 + y = \frac{x + xy + 1}{x}

elde edilir.

Taban ile logaritması alınan sayının yer değiştirmesi durumunda logaritma değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Elde edilen pay ve payda rasyonel ifadelerini oranlamak.

\log_{30} 120 = \frac{\frac{x + xy + 3}{x}}{\frac{x + xy + 1}{x}} = \frac{x + xy + 3}{x + xy + 1}

Ortak payda olan

x

değerleri sadeleşir ve nihai rasyonel ifadeye ulaşılır.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme