Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Dizi ve Özellikleri
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a4⋅a9a7=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = 12
a4+a6=15a_4 + a_6 = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
  1. 6Answer
  2. B
    12
  3. C
    152\frac{15}{2}
  4. D
    -6
  5. E
    5

Answer

Dizinin beşinci terimi 6'dır.
Birinci eşitlik sadeleştirildiğinde dizinin altıncı terimi olan 12 elde edilir. Bu değer ikinci eşitlikte yerine yazıldığında dördüncü terim 3 olarak bulunur. Geometrik dizinin özelliği gereği, beşinci terimin karesi dördüncü terim ile altıncı terimin çarpımına eşittir. Buradan beşinci terim 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak ilk eşitlikteki terimler düzenlenir.
a4⋅a9a7=(a1r3)⋅(a1r8)a1r6=a1r5=a6=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = \frac{(a_1 r^3) \cdot (a_1 r^8)}{a_1 r^6} = a_1 r^5 = a_6 = 12 elde edilir.
Birinci eşitliği daha sade bir terim cinsinden ifade etmek amacıyla sadeleştirme yapılmıştır.
2
Bulunan a6=12a_6 = 12 değeri, ikinci eşitlik olan a4+a6=15a_4 + a_6 = 15 ifadesinde yerine yazılır.
a4+12=15⇒a4=3a_4 + 12 = 15 \Rightarrow a_4 = 3 bulunur.
Dizinin dördüncü terimini (a4a_4) elde etmek için.
3
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki geometrik ortalama özelliği (a52=a4⋅a6a_5^2 = a_4 \cdot a_6) kullanılır.
a52=3⋅12=36⇒a5=6a_5^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow a_5 = 6 (dizi pozitif terimli olduğundan a5>0a_5 > 0 olmalıdır) bulunur.
Beşinci terimi (a5a_5) hesaplamak için.

Key Concept

Geometrik dizilerde herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} veya ardışık terimler için an2=an−1⋅an+1a_{n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}).
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic