Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
xlog⁡2x−1=64x^{\log_2 x - 1} = 64

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

  1. A
    164\frac{1}{64}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. 22Answer
  4. D
    88
  5. E
    6464

Answer

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alınır. Logaritmanın özelliği gereği üs başa çarpan olarak geçer: (log⁡2x−1)⋅log⁡2x=6(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6. log⁡2x=u\log_2 x = u değişken değiştirmesi yapıldığında elde edilen u2−u−6=0u^2 - u - 6 = 0 denkleminin kökleri u1=3u_1 = 3 ve u2=−2u_2 = -2 olarak bulunur. Buradan x1=23=8x_1 = 2^3 = 8 ve x2=2−2=14x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} değerleri elde edilir. Bu iki kökün çarpımı 22 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alma
log⁡2(xlog⁡2x−1)=log⁡264\log_2(x^{\log_2 x - 1}) = \log_2 64
Üstel ifadeyi doğrusal hale getirip logaritma özelliklerini uygulayabilmek için.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak üssü başa çarpım olarak atma ve sağ tarafı sadeleştirme
(log⁡2x−1)⋅log⁡2x=6(\log_2 x - 1) \cdot \log_2 x = 6
log⁡b(mp)=p⋅log⁡bm\log_b(m^p) = p \cdot \log_b m özelliği ve log⁡264=log⁡2(26)=6\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6 eşitliği kullanılmıştır.
3
Değişken değiştirme ve ikinci dereceden denklem elde etme
log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümü ile u2−u−6=0u^2 - u - 6 = 0 denklemi elde edilir.
Denklemi çözülebilir ikinci dereceden bir formata getirmek için.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulma
(u−3)(u+2)=0  ⟹  u1=3(u - 3)(u + 2) = 0 \implies u_1 = 3 ve u2=−2u_2 = -2
−6-6 sayısının çarpanları olan −3-3 ve 22'nin toplamı −1-1'i (orta terimin katsayısını) verdiğinden çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
Değişken değiştirmeyi geri alarak xx değerlerini ve bunların çarpımını bulma
log⁡2x=3  ⟹  x1=23=8\log_2 x = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8 ve log⁡2x=−2  ⟹  x2=2−2=14\log_2 x = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}. Çarpımları: 8⋅14=28 \cdot \frac{1}{4} = 2 olur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini elde etmek ve soruda istenen çarpım değerini hesaplamak için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternative Method

Alternatif olarak, x=2ux = 2^u yazarak denklem doğrudan (2u)u−1=26  ⟹  2u2−u=26(2^u)^{u-1} = 2^6 \implies 2^{u^2-u} = 2^6 şeklinde üstel formda çözülebilir. Buradan tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir ve u2−u=6u^2-u=6 denklemi elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic