Examkin

Question

Difficulty: Very hardYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

mm bir gerçel sayı ve m≠−1m \neq -1 olmak üzere,

f(x)=x2−mx+1x2+x+1f(x) = \frac{x^2 - mx + 1}{x^2 + x + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 44 olduğuna göre, ff fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

  1. -2Answer
  2. B
    10
  3. C
    -6
  4. D
    2
  5. E
    6

Answer

Yerel minimum değeri -2 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi alınıp sadeleştirildiğinde kritik noktalar -1 ve 1 olarak bulunur. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerinin ortalaması olan y-kesim noktası formülü kullanılarak m değeri 8 olarak elde edilir. m = 8 için türev tablosu yapıldığında, fonksiyonun x = 1 noktasında yerel minimuma sahip olduğu görülür. Fonksiyonda x = 1 yazılarak yerel minimum değeri -2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak f(x) fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=(2x−m)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−mx+1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(2x - m)(x^2 + x + 1) - (2x + 1)(x^2 - mx + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevi bulunmalıdır.
2
Türev ifadesinin pay kısmı düzenlenerek sadeleştirilir.
f′(x)=(m+1)(x2−1)(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(m + 1)(x^2 - 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
Kritik noktaları daha rahat görebilmek için türevi çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (apsisler) bulunur.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=1x_2 = 1
x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin gerçel kökü olmadı��ından, türevin kökleri yalnızca payı sıfır yapan değerlerdir.
4
Yerel ekstremum noktalarının koordinatları belirlenir.
A(−1,m+2)A(-1, m + 2) ve B(1,2−m3)B\left(1, \frac{2 - m}{3}\right)
Kritik noktaların apsisleri orijinal fonksiyonda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
5
A ve B noktalarının orta noktası bulunur. Bu noktaların apsislerinin toplamının yarısı 0 olduğundan, orta nokta doğrudan y-ekseni üzerindedir ve doğrunun y-kesim noktasıdır.
Orta Nokta=(0,(m+2)+2−m32)=(0,m+43)Orta\ Nokta = \left(0, \frac{(m + 2) + \frac{2 - m}{3}}{2}\right) = \left(0, \frac{m + 4}{3}\right)
Simetrik apsislere (-1 ve 1) sahip iki noktadan geçen doğrunun y-eksenini kestiği nokta, bu noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
6
y-kesim noktasının ordinatı 4'e eşitlenerek m değeri bulunur.
m+43=4  ⟹  m=8\frac{m + 4}{3} = 4 \implies m = 8
Soruda doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 4 olarak verilmiştir.
7
m = 8 değeri için türevin işareti incelenerek yerel minimum noktası saptanır ve değeri hesaplanır.
m=8>−1m = 8 > -1 olduğundan türevin işareti x=1x = 1 noktasında negatiften pozitife geçer. Dolayısıyla x=1x = 1 yerel minimum noktasıdır. Yerel minimum değeri: f(1)=2−83=−2f(1) = \frac{2 - 8}{3} = -2
Türevin işaret değiştirdiği yön analiz edilerek yerel minimum noktasının ordinat değeri elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun bu noktalardaki teğetlerinin eğimi sıfırdır.
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic