Examkin

Question

Difficulty: MediumKütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

Kendi içlerinde homojen (türdeş) özkütleye sahip küresel KK ve LL gezegenlerinin özkütleleri sırasıyla dd ve 3d3d, yarıçapları ise 2R2R ve RR olarak verilmiştir.

KK gezegeninin merkezinden RR kadar uzaklıktaki bir noktada yerçekimi ivmesinin büyüklüğü gKg_K, LL gezegeninin yüzeyinden dışarıya doğru RR kadar uzaklıktaki bir noktada yerçekimi ivmesinin büyüklü��ü ise gLg_L'dir.

Buna göre, yerçekimi ivmelerinin büyüklüklerinin oranı olan gKgL\frac{g_K}{g_L} kaçtır?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 43\frac{4}{3}Answer
  4. D
    83\frac{8}{3}
  5. E
    323\frac{32}{3}

Answer

Yerc\cekimiivmelerininbu¨yu¨klu¨klerininoranı43′tu¨r.Yerçekimi ivmelerinin büyüklüklerinin oranı \frac{4}{3}'tür.
K noktasının gezegenin içinde olması nedeniyle ivme formülü g_K = \frac{4}{3} \pi G d R şeklinde yazılır. L noktasının ise gezegenin dışında ve merkezden 2R uzaklıkta olması nedeniyle kütlesi M_L = 4 \pi d R^3 kullanılarak ivme g_L = G \frac{4 \pi d R^3}{4R^2} = \pi G d R olarak bulunur. Oranlandığında \frac{4}{3} değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
K gezegeninin içindeki noktanın ivmesini hesaplamak
g_K = \frac{4}{3} \pi G d R
K gezegeninin yarıçapı 2R olduğundan, merkezden R uzaklıktaki nokta gezegenin içindedir ve homojen gezegenlerin içindeki ivme formülü g = \frac{4}{3} \pi G d r şeklindedir.
2
L gezegeninin dışındaki noktanın merkeze olan uzaklığını belirlemek
r = 2R
L gezegeninin yarıçapı R olup, yüzeyinden dışarıya doğru R kadar uzaklıktaki noktanın gezegen merkezine olan toplam uzaklığı R + R = 2R olur.
3
L gezegeninin kütlesini ve bu noktadaki dış yerçekimi ivmesini hesaplamak
M_L = 4 \pi d R^3 ve g_L = \pi G d R
L gezegeninin kütlesi M_L = V \cdot d_L = \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot 3d = 4 \pi d R^3 olarak bulunur. Gezegen dışındaki yerçekimi ivmesi g = G \frac{M}{r^2} formülünden g_L = G \frac{4 \pi d R^3}{(2R)^2} = \pi G d R olur.
4
İvme büyüklüklerini oranlamak
gKgL=43\frac{g_K}{g_L} = \frac{4}{3}
Hesaplanan g_K ve g_L değerleri birbirine oranlandığında \frac{4}{3} sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Yerçekimi ivmesinin gezegenin içinde merkeze olan uzaklıkla doğru orantılı, dışında ise merkeze olan uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak değişmesi.

Alternative Method

K gezegeninin yüzeyindeki ivme g_K,yüzey = \frac{4}{3} \pi G d (2R) = \frac{8}{3} \pi G d R olarak bulunur. İçerideki ivme merkeze uzaklıkla doğru orantılı değiştiğinden, merkezden R uzaklıktaki ivme yüzeydeki değerin yarısıdır: g_K = \frac{4}{3} \pi G d R. Bu yöntem işlem adımlarını kısaltabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

More questions from this topic