Homojen özkütleye sahip 3R yarıçaplı küresel bir gezegenin merkezinden sırasıyla R, 2R, 4R… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Homojen özkütleye sahip $3R$ yarıçaplı küresel bir gezegenin merkezinden sırasıyla $R$ , $2R$ , $4R$ ve $6R$ uzaklıktaki K, L, M ve N noktalarında oluşan yerçekimi ivmelerinin büyüklüklerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

1 $L$ noktasındaki yerçekimi ivmesinin büyüklüğü ( $g_L$ )
2 $M$ noktasındaki yerçekimi ivmesinin büyüklüğü ( $g_M$ )
3 $K$ noktasındaki yerçekimi ivmesinin büyüklüğü ( $g_K$ )
4 $N$ noktasındaki yerçekimi ivmesinin büyüklüğü ( $g_N$ )

Answer

Yerçekimi ivmesi büyüklüklerinin doğru sıralaması L > M > K > N şeklindedir.

Yerçekimi ivmesi gezegenin içinde merkezden yüzeye kadar uzaklıkla doğru orantılı olarak artarken, yüzeyden dışarıya doğru uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak azalır. Bu kurallara göre yapılan hesaplamalarda

g_L = 2g_x

g_M \approx 1{}69g_x

g_K = g_x

g_N = 0{}75g_x

büyüklükleri elde edilir. Dolayısıyla büyükten küçüğe doğru sıralama L > M > K > N şeklindedir.

Step-by-Step Solution

Gezegenin içindeki (

r \le 3R

) noktalar için yerçekimi ivmesi bağıntısının belirlenmesi

Gezegen içinde yerçekimi ivmesi merkezden uzaklıkla doğru orantılıdır (

g \propto r

). Merkezden

R

uzaklıktaki K noktası için

g_K = g_x

kabul edilirse,

2R

uzaklıktaki L noktası için

g_L = 2g_x

olur.

Homojen yoğunluklu bir kürenin içinde, merkezden uzaklaşt��kça çekim kuvvetine katkı sağlayan etkin kütle hacimle (

r^3

) artarken, uzaklığın karesine (

r^2

) bölünmesiyle net çekim ivmesi doğrusal olarak artar.

Gezegenin yüzeyindeki (

r = 3R

) yerçekimi ivmesinin iç bölge cinsinden ifade edilmesi

g_{yüzey} = g(3R) = 3g_x

olur.

İç bölgedeki doğrusal artış eğiliminin gezegen yüzeyindeki (

r = 3R

) sınır değerini belirlemek için.

Gezegenin dışındaki (

r > 3R

) noktalar için yerçekimi ivmesi bağıntısının yüzey ivmesiyle ilişkilendirilmesi

Dış noktalarda yerçekimi ivmesi merkezden uzaklığın karesiyle ters orantılıdır (

g \propto 1/r^2

). Yüzeyde

g(3R) = \frac{GM}{(3R)^2} = 3g_x \implies GM = 27g_x R^2

elde edilir. Buradan dış bölgedeki herhangi bir nokta için ivme formülü

g(r) = \frac{27g_x R^2}{r^2}

olarak yazılır.

Dış bölgedeki ivme değerlerini, iç bölgede referans aldığımız

g_x

birimiyle doğrudan kıyaslayabilmek için.

M ve N noktalarındaki yerçekimi ivmesi değerlerinin hesaplanması

M

noktası (

r=4R

) için:

g_M = \frac{27g_x R^2}{(4R)^2} = \frac{27}{16}g_x \approx 1{}69g_x

bulunur.

N

noktası (

r=6R

) için:

g_N = \frac{27g_x R^2}{(6R)^2} = \frac{27}{36}g_x = 0{}75g_x

bulunur.

Dış noktaların konumlarını formülde yerine koyarak ivme büyüklüklerini sayısal oranlara dönüştürmek için.

Bulunan tüm değerlerin karşılaştırılarak sıralanması

g_L (2g_x) > g_M (1{}69g_x) > g_K (1g_x) > g_N (0{}75g_x)

olduğundan doğru sıralama L, M, K, N şeklindedir.

Soruda talep edilen büyükten küçüğe sıralama koşulunu gerçekleştirmek için.

Key Concept

Homojen küresel gök cisimlerinin içinde ve dışındaki yerçekimi ivmesinin merkezden uzaklığa bağlı değişimi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic