Examkin

Question

Difficulty: HardLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(a2b3)⋅log⁡b(a4b)=24\log_a(a^2 b^3) \cdot \log_b(a^4 b) = 24
olduğuna göre, log⁡ab\log_a b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. 103\frac{10}{3}Answer
  2. B
    83\frac{8}{3}
  3. C
    143\frac{14}{3}
  4. D
    72\frac{7}{2}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Answer

Deg˘erlerintoplamı103′tu¨r.Değerlerin toplamı \frac{10}{3}'tür.
Denklemin doğru çözümüyle elde edilen köklerin toplamı \frac{10}{3}'tür. Logaritmanın özelliklerini ve taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ab=x\log_a b = x dönüşümü yaptığımızda 3x2−10x+8=03x^2 - 10x + 8 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı \frac{10}{3} olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadelerdeki logaritmaların içindeki çarpımları toplam şeklinde yazalım.
log⁡a(a2b3)=log⁡a(a2)+log⁡a(b3)=2+3log⁡ab\log_a(a^2 b^3) = \log_a(a^2) + \log_a(b^3) = 2 + 3\log_a b
log⁡b(a4b)=log⁡b(a4)+log⁡b(b)=4log⁡ba+1\log_b(a^4 b) = \log_b(a^4) + \log_b(b) = 4\log_b a + 1
Logaritmanın log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z ve log⁡x(yk)=klog⁡xy\log_x(y^k) = k\log_x y özelliklerini uygulamak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ba\log_b a ifadesini log⁡ab\log_a b cinsinden yazalım ve değişken dönüştürmesi yapalım.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} kuralından dolayı log⁡ab=x\log_a b = x dersek, log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} olur. Bu durumda ifadeler sırasıyla 2+3x2 + 3x ve 4x+1\frac{4}{x} + 1 halini alır.
Denklemi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp çözülebilir bir yapıya dönüştürmek için.
3
İfadelerin çarpımını verilen 24 sayısına eşitleyelim ve parantezleri dağıtıp düzenleyelim.
(2+3x)(4x+1)=24  ⟹  2+8x+3x+12=24  ⟹  3x+8x+14=24  ⟹  3x+8x−10=0(2 + 3x)\left(\frac{4}{x} + 1\right) = 24 \implies 2 + \frac{8}{x} + 3x + 12 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} + 14 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} - 10 = 0
Çarpım işlemini gerçekleştirerek ikinci dereceden bir rasyonel denklem elde etmek için.
4
Elde edilen denklemin paydalarını eşitleyip ikinci dereceden denklem haline getirelim ve çözelim.
3x2−10x+8=0  ⟹  (3x−4)(x−2)=0  ⟹  x1=433x^2 - 10x + 8 = 0 \implies (3x - 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = \frac{4}{3} ve x2=2x_2 = 2
Bilinmeyen olan x=log⁡abx = \log_a b değerlerini bulmak için.
5
Alınabilecek değerlerin toplamını bulalım.
x1+x2=43+2=103x_1 + x_2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}
Soruda bizden istenen log⁡ab\log_a b değerlerinin toplamını elde etmek için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic