Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x-2)^2 - 1 fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. 22Answer
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. D
    503\frac{50}{3}
  5. E
    83\frac{8}{3}

Answer

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 22 birimkaredir.
Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki kökü olan x=1x=1 noktasında fonksiyon işaret değiştirmektedir. [0,1][0, 1] aralığında grafik xx-ekseninin üzerinde, [1,2][1, 2] aralığında ise altında kalır. Alan hesaplanırken xx-ekseninin altında kalan bölge için integralin negatif değeri mutlak değerce eklenerek toplam alan 22 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki köklerini bulma
x=1x = 1
Alan hesabında integral sınırlarının hangi noktalarda xx-eksenini kestiğini belirlemek için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür: (x−2)2−1=0  ⟹  (x−2)2=1  ⟹  x=1(x-2)^2 - 1 = 0 \implies (x-2)^2 = 1 \implies x = 1 veya x=3x = 3. Bu köklerden sadece x=1x = 1 verilen [0,2][0, 2] aralığındadır.
2
İntegral aralıklarında fonksiyonun işaretini inceleme
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 ve [1,2][1, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0
Eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısımlarında integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu kısımlar eksi ile çarpılarak pozitife çevrilmelidir.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplama
S1=43S_1 = \frac{4}{3} ve S2=23S_2 = \frac{2}{3}
S1=∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=43S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{4}{3} ve S2=−∫12(x2−4x+3) dx=−([x33−2x2+3x]12)=−(23−43)=23S_2 = -\int_1^2 (x^2 - 4x + 3) \, dx = -\left( \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^2 \right) = -\left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) = \frac{2}{3}
4
Bulunan alanları toplama
22
Toplam alan S1+S2S_1 + S_2 toplamına eşittir: 43+23=2\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2 birimkare.

Key Concept

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

More questions from this topic