Examkin

Question

Difficulty: MediumLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
4log⁡2(log⁡3x)+(log⁡3x)log⁡24=324^{\log_2(\log_3 x)} + (\log_3 x)^{\log_2 4} = 32

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Answer: 81

Answer

Denklemi sa��layan tek xx gerçel sayısı 81'dir.
Verilen denklemde logaritma ve üslü sayı özellikleri kullanılarak 4log⁡2(log⁡3x)4^{\log_2(\log_3 x)} terimi (log⁡3x)2(\log_3 x)^2 olarak yazılabilir. Aynı şekilde, log⁡24=2\log_2 4 = 2 olduğundan (log⁡3x)log⁡24(\log_3 x)^{\log_2 4} terimi de (log⁡3x)2(\log_3 x)^2 değerine eşittir. Bu iki terimin toplamı 2(log⁡3x)2=322(\log_3 x)^2 = 32 denklemini verir. Buradan (log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16 elde edilir. Logaritmanın tanım kümesi gereği log⁡3x>0\log_3 x > 0 olması gerektiğinden log⁡3x=4\log_3 x = 4 olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan tek gerçel sayı ise x=34=81x = 3^4 = 81'dir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek
x>1x > 1 ve log⁡3x>0\log_3 x > 0 olmalıdır.
log⁡2(u)\log_2(u) ifadesinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın argümanı olan uu değerinin pozitif olması gerekir. Burada u=log⁡3xu = \log_3 x olduğundan, log⁡3x>0\log_3 x > 0 olmalıdır.
2
İlk terimi sadeleştirmek
(log⁡3x)2(\log_3 x)^2
4=224 = 2^2 yazılarak üslü sayı kuralları ve alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliği kullanılır. Böylece 4log⁡2(log⁡3x)=(2log⁡2(log⁡3x))2=(log⁡3x)24^{\log_2(\log_3 x)} = (2^{\log_2(\log_3 x)})^2 = (\log_3 x)^2 elde edilir.
3
İkinci terimi sadeleştirmek
(log⁡3x)2(\log_3 x)^2
log⁡24=2\log_2 4 = 2 olduğundan, terim doğrudan (log⁡3x)log⁡24=(log⁡3x)2(\log_3 x)^{\log_2 4} = (\log_3 x)^2 şeklinde yazılır.
4
Denklemi çözmek
(log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16
Sadeleştirilmiş terimler denklemde toplanır: (log⁡3x)2+(log⁡3x)2=32  ⟹  2(log⁡3x)2=32  ⟹  (log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 + (\log_3 x)^2 = 32 \implies 2(\log_3 x)^2 = 32 \implies (\log_3 x)^2 = 16 bulunur.
5
Tanım kümesi kontrolü ile xx değerini bulmak
x=81x = 81
(log⁡3x)2=16(\log_3 x)^2 = 16 ise log⁡3x=4\log_3 x = 4 veya log⁡3x=−4\log_3 x = -4 olur. Ancak birinci adımda belirlenen log⁡3x>0\log_3 x > 0 koşulundan dolayı log⁡3x=4\log_3 x = 4 olmalıdır. Buradan x=34=81x = 3^4 = 81 bulunur.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini uygulama, üslü logaritmik denklemleri çözme ve logaritmanın tanımlı olma şartlarını sağlayan değerleri belirleme.
Rate this question

Topics

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

More questions from this topic