Examkin

Question

Difficulty: MediumYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun sadece bir tane yerel ekstremum noktası vardır ve bu noktanın apsisi −2-2'dir.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpımı kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. C
    2
  4. 3Answer
  5. E
    92\frac{9}{2}

Answer

f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpım�� 3'tür.
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile f′(x)=(2x−3)g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3)g'(x^2 - 3x) olarak bulunur. gg fonksiyonunun yerel ekstremum noktası yalnızca −2-2 olduğundan g′(−2)=0g'(-2) = 0 olur. Dolayısıyla f′(x)=0f'(x) = 0 denklemini sağlayan değerler 2x−3=0  ⟹  x=1,52x - 3 = 0 \implies x = 1,5 ile x2−3x=−2  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x = 1 ve x=2x = 2 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde bu üç değerin de tek katlı kök olduğu ve türevin işaretini değiştirdiği görülür. Bu nedenle her üçü de yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Çarpımları ise 1⋅1,5⋅2=31 \cdot 1,5 \cdot 2 = 3 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
f′(x)=(2x−3)⋅g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3) \cdot g'(x^2 - 3x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (g(u))′=u′⋅g′(u)(g(u))' = u' \cdot g'(u) şeklindedir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktaları belirleyin.
2x−3=0  ⟹  x=322x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} ve g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemleri elde edilir.
Yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan veya türevin tanımlı olmadığı noktalarda aranır.
3
gg fonksiyonunun tek yerel ekstremum noktasının apsisi olan −2-2 değerini kullanarak g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemini çözün.
x2−3x=−2  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−1)(x−2)=0  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2 elde edilir.
gg fonksiyonunun türevlenebilir olduğu ve tek yerel ekstremum noktasının apsisinin −2-2 olduğu bilgisi, g′(u)=0  ⟺  u=−2g'(u) = 0 \iff u = -2 olduğunu gösterir.
4
Kritik noktaların türevin işaretini değiştirip değiştirmediğini kontrol edin ve apsislerin çarpımını hesaplayın.
x=1x = 1, x=32x = \frac{3}{2} ve x=2x = 2 noktalarının her birinde f′(x)f'(x) işaret değiştirir. Apsisler çarpımı: 1⋅32⋅2=31 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 bulunur.
Türevin tek katlı köklerinde fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçişi gerçekleştiği için bu noktaların tümü yerel ekstremum noktasıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

More questions from this topic