Examkin

Question

Difficulty: MediumRiemann Toplamı

[0,3][0, 3] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 33 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı, Riemann alt toplamından kaç birimkare fazladır?

  1. A
    66
  2. B
    88
  3. 99Answer
  4. D
    1212
  5. E
    1515

Answer

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 99 birimkaredir.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır. Genişliği 11 birim olan 33 eş alt aralık için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak 2222 birimkare, Riemann alt toplamı ise sağ uç noktalar kullanılarak 1313 birimkare olarak elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark 99 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Aralığı ve alt aralıkları belirleme
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde her bir alt aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 birim olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamını hesaplamak için öncelikle bölüntü noktalarını ve aralık genişliğini bulmamız gerekir.
2
Fonksiyon değerlerini uç noktalarda hesaplama
f(0)=9−02=9f(0) = 9 - 0^2 = 9, f(1)=9−12=8f(1) = 9 - 1^2 = 8, f(2)=9−22=5f(2) = 9 - 2^2 = 5 ve f(3)=9−32=0f(3) = 9 - 3^2 = 0 bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak olan fonksiyon yüksekliklerini belirlemek için uç noktalardaki değerleri hesaplamalıyız.
3
Riemann üst toplamını hesaplama
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında azalan olduğu için her bir alt aralıktaki maksimum değer sol uç noktada gerçekleşir. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅[9+8+5]=22U = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot [9 + 8 + 5] = 22 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Azalan fonksiyonda her bir alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada gerçekleşir. Riemann alt toplamı: L=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(3)]=1⋅[8+5+0]=13L = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [8 + 5 + 0] = 13 birimkaredir.
Azalan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı sağ uç noktalar kullanılarak hesaplanır.
5
Üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−13=9U - L = 22 - 13 = 9 birimkare bulunur.
Riemann üst toplamının alt toplamdan kaç birimkare fazla olduğunu bulmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının monoton (azalan) fonksiyonlarda uç noktalar yardımıyla hesaplanması ve aralarındaki farkın bulunması.
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic