Examkin

Question

Difficulty: MediumLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her ff fonksiyonu için lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti her zaman mevcuttur.

Answer: Answer

Answer

İfade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her fonksiyon için bu limit mevcut olmak zorunda değildir; fonksiyonun limit noktasında işaret değiştirmesi durumunda sağ ve sol limitler farklı çıkacağından limit mevcut olmaz.
Verilen ifade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olduğunda lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Ancak bu limitin varlığı f(x)f(x) fonksiyonunun x=ax=a noktasındaki davranışına bağlıdır. Örneğin f(x)=x−af(x) = x-a gibi işaret değiştiren bir fonksiyonda sağ limit 11 iken sol limit −1-1 olur. Bu durumda limit mevcut olamaz. Dolayısıyla ifadenin her zaman doğru olduğu iddiası yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Limit tanımını ve mutlak değer özelliğini hatırlayarak sağdan ve soldan limit incelemesi yapalım.
x→a+x \to a^+ için f(x)f(x) pozitif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) olur ve oran 11 çıkar. x→a−x \to a^- için f(x)f(x) negatif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur ve oran −1-1 çıkar.
Mutlak değerli ifadelerin limitini incelerken kritik noktadaki işaret değişimleri sağ ve sol limitleri doğrudan etkiler.
2
Karşıt bir örnek vererek ifadenin her durumda geçerli olmadığını gösterelim.
f(x)=x−af(x) = x - a fonksiyonu için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olur. Ancak lim⁡x→a+∣x−a∣x−a=1\lim_{x \to a^+} \frac{|x-a|}{x-a} = 1 ve lim⁡x→a−∣x−a∣x−a=−1\lim_{x \to a^-} \frac{|x-a|}{x-a} = -1 olduğundan, sağ ve sol limitler eşit değildir ve limit yoktur.
Tüm fonksiyonlar için geçerli olduğu iddia edilen bir önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek sunmak yeterlidir.

Key Concept

Mutlak değer içeren limitlerde sağdan ve soldan limit incelemesi yapılarak belirsizliğin giderilmesi.
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic