Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Dizi ve Özellikleri

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı 121512^{15}'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 518\frac{5}{18} olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Answer: 108

Answer

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.
Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşit olup a8=12a_8 = 12 bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden a1⋅a15=a82=144a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144 elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında a1+a15144=518\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18} eşitliğinden a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40 bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla a1=4a_1 = 4, a15=36a_{15} = 36 olur. a15=a1⋅r14  ⟹  r14=9  ⟹  r7=3a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3 elde edilir. Buradan a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak a8a_8 ve a1⋅a15a_1 \cdot a_{15} değerlerini hesaplamak.
a8=12a_8 = 12 ve a1⋅a15=144a_1 \cdot a_{15} = 144
Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşittir.
2
Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.
a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40
1a1+1a15=a1+a15a1⋅a15=518\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18} eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.
3
Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.
a1=4a_1 = 4 ve a15=36a_{15} = 36
Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar (x−4)(x−36)=0(x-4)(x-36) = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.
4
Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.
a22=108a_{22} = 108
a15=a1⋅r14  ⟹  36=4⋅r14  ⟹  r14=9a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 olur. Buradan r7=3r^7 = 3 bulunur. İstenen terim a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 şeklinde elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.
Rate this question

Topics

Geometrik Dizi ve Özellikleri

More questions from this topic