Tanımlı oldukları kümelerde türevlenebilir y, u ve v fonksiyonları y = u^3 - 2u^2 + 1 u = \\sqrt{v+1} v = 2x^2 - x - 3 \neşitlikleriyle verilmektedir. Buna göre, x = 2 noktasında \\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Tanımlı oldukları kümelerde türevlenebilir y, u ve v fonksiyonları y = u^3 - 2u^2 + 1 u = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı oldukları kümelerde türevlenebilir $y$ , $u$ ve $v$ fonksiyonları

y = u^3 - 2u^2 + 1

u = \\sqrt{v+1}

v = 2x^2 - x - 3

eşitlikleriyle verilmektedir.

Buna göre, $x = 2$ noktasında $\\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

A
1
B
4
7Answer
D
14
E
28

Answer

Zincir kuralı doğru bir şekilde uygulanarak elde edilen türev değeri 7'dir.

Zincir kuralı uygulanarak değişkenlerin türevleri

\\frac{dy}{du} = 4

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{4}

\\frac{dv}{dx} = 7

olarak bulunmuş ve çarpımları sonucunda 7 değeri elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

Verilen

x = 2

değeri için sırasıyla

v

u

değişkenlerinin değerlerini hesaplayın.

x = 2

için:

v = 2(2)^2 - 2 - 3 = 8 - 5 = 3

v = 3

için:

u = \\sqrt{3+1} = \\sqrt{4} = 2

Türevlerin hesaplanacağı noktaları belirlemek için her değişkenin değerini bulmamız gerekir.

Her bir fonksiyonun kendi bağımsız değişkenine göre türevini alın ve ilgili noktadaki değerini hesaplayın.

\\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \\implies u = 2

için

\\frac{dy}{du} = 3(2)^2 - 4(2) = 12 - 8 = 4

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{v+1}} \\implies v = 3

için

\\frac{du}{dv} = \\frac{1}{2\\sqrt{4}} = \\frac{1}{4}

\\frac{dv}{dx} = 4x - 1 \\implies x = 2

için

\\frac{dv}{dx} = 4(2) - 1 = 7

Zincir kuralı formülünü uygulayabilmek için her bir bileşenin türev değerine ihtiyaç vardır.

Zincir kuralını uygulayarak

\\frac{dy}{dx}

değerini bulun.

\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dv} \\cdot \\frac{dv}{dx} = 4 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot 7 = 7

Zincir kuralına göre bağımlı değişkenin en içteki bağımsız değişkene göre türevi, ara türevlerin çarpımına eşittir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi hesaplanırken zincir kuralı uygulanır. Birden fazla bağımlı değişken içeren ifadelerde türev, her adımın türevinin birbiriyle çarpılmasıyla bulunur.

Alternative Method

Alternatif olarak, tüm değişkenler

x

cinsinden tek bir fonksiyon olarak yazılabilir:

y = (\\sqrt{2x^2-x-2})^3 - 2(2x^2-x-2) + 1

. Bu ifadenin türevi doğrudan

x

'e göre alındığında da aynı sonuç elde edilir ancak işlemler daha karmaşık olacaktır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic