Examkin

Question

Difficulty: MediumArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f(x)=x3−3x2+kx+5f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 5 fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması için kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması, birinci türevinin her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir. f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için baş katsayısı pozitif olduğundan diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit (Δ≤0\Delta \leq 0) olması gerekir. Buradan 36−12k≤036 - 12k \leq 0 eşitsizliğinden k≥3k \geq 3 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük kk tam sayısı 33'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen fonksiyonun birinci türevini hesaplayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k
Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu��u aralıklar birinci türevinin işaretiyle belirlenir.
2
Fonksiyonun daima artan olması için gerekli türev koşulunu yazın.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Türevin negatif olmadığı (sıfırdan büyük veya eşit olduğu) aralıklarda fonksiyon artandır.
3
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant koşulunu uygulayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k ikinci dereceden ifadesinin baş katsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, daima pozitif veya sıfır olması için Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin işaret tablosunda işaret değiştirmemesi ve daima pozitif kalması için gerçek kökünün olmaması ya da yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
4
Diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplayıp sıfırdan küçük veya eşit olacak şekilde eşitsizliği çözün.
Δ=(−6)2−4⋅3⋅k≤0⇒36−12k≤0⇒12k≥36⇒k≥3\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k \leq 0 \Rightarrow 36 - 12k \leq 0 \Rightarrow 12k \geq 36 \Rightarrow k \geq 3
kk değerlerinin aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
5
k≥3k \geq 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı değerini belirleyin.
k=3k = 3
33 veya 33'ten büyük tam sayılar arasından en küçüğü seçilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması ve türevin sıfır olduğu noktaların ayrık (tekil) olması gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

More questions from this topic