a ve b gerçel sayılar olmak üzere, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1\neşitliği sağlanmaktad��r. Buna göre, b - a farkı kaçtır?

a ve b gerçel sayılar olmak üzere, \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1\n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

b

gerçel sayılar olmak üzere,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1

eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, $b - a$ farkı kaçtır?

İstenen

b - a

farkının değeri

20

olarak bulunur.

Limit ifadesinde

0/0

belirsizliği kullanılarak

a + b = 4

bulunur. Payın eşleniği ile genişletilmesi ve

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

limitinin uygulanmasıyla limit değeri

-\frac{a}{8}

olarak hesaplanır. Limit 1'e eşit olduğundan

a = -8

b = 12

elde edilir. Bu değerlerle fark

12 - (-8) = 20

bulunur.

Paydanın sıfıra yaklaşması ve limitin bir gerçel sayı olması durumunu inceleme.

x \to 0

iken payda sıfıra gittiğinden, limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan

\sqrt{a\cos(0) + b} - 2 = 0 \implies \sqrt{a + b} = 2 \implies a + b = 4

elde edilir.

Belirsizlik durumu (

0/0

) oluşmadığı sürece paydanın sıfır olduğu durumda limit bir gerçel sayı olamaz.

Köklü ifadedeki belirsizliği gidermek için payı eşleniği ile çarpıp bölme.

\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a\cos x + b} - 2)(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos x + b - 4}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}

a + b = 4 \implies b - 4 = -a

eşitliği kullanılarak pay kısmı

a(\cos x - 1)

olarak yazılır.

Kareköklü limitlerde

0/0

belirsizliğini gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemi uygulanır.

Trigonometrik limit özelliklerini kullanarak limit değerini hesaplama.

\lim_{x \to 0} \frac{a(\cos x - 1)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a\cos x + b} + 2}

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

ve paydadaki köklü kısım

2 + 2 = 4

değerine gittiğinden limit:

-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = -\frac{a}{8}

olarak bulunur.

Yarım açı formülleri veya temel limit kuralları ile belirsizlik çözülür.

Limit değerini 1'e eşitleyerek a ve b parametrelerini çözüp istenen farkı bulma.

-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8

bulunur. Buradan

a + b = 4 \implies -8 + b = 4 \implies b = 12

elde edilir. Sonuç olarak

b - a = 12 - (-8) = 20

bulunur.

Bulunan limit ifadesi verilen gerçek limit değerine eşitlenerek parametreler elde edilir.

0/0 belirsizliği durumlarında eşlenik çarpımı ve trigonometrik limit yardımıyla belirsizliğin giderilmesi.