Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere A(1,0)A(1,0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu çizilmiştir. Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir PP noktası için [OP][OP] yarıçap doğrusunun pozitif xx-ekseni ile yaptığı yönlü açının ölçüsü θ\theta'dır.

PP noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, x=1x = 1 doğrusunu K(1,−2)K(1, -2) noktasında kesmektedir.

Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Answer: -0.8

Answer

Birim çember üzerindeki noktanın ordinatı -0.8 değerine eşittir.
Teğet doğrusunun denklemi kurulup verilen kesişim noktası yerine yazıldıktan sonra elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, noktanın üçüncü bölgede yer alması nedeniyle ordinat değeri negatif olan -0.8 olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 doğrusu elde edilir.
Birim çember üzerindeki herhangi bir (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir.
2
K(1, -2) noktasını doğru denkleminde yerine yazma
cos⁡θ−2sin⁡θ=1\cos\theta - 2\sin\theta = 1 bağıntısı elde edilir.
Teğet doğrusu K(1,−2)K(1, -2) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Trigonometrik özdeşliği kullanarak tek bilinmeyenli denklem elde etme
5sin⁡2θ+4sin⁡θ=05\sin^2\theta + 4\sin\theta = 0 denklemi elde edilir.
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 özdeşliğinde cos⁡θ=1+2sin⁡θ\cos\theta = 1 + 2\sin\theta yazılarak ortak çözüm yapılır.
4
Bölge şartına göre ordinat değerini belirleme
sin⁡θ=−0.8\sin\theta = -0.8 olarak bulunur.
Denklemin kökleri 0 ve -0.8'dir. Nokta üçüncü bölgede yer aldığından koordinatları negatif olmalıdır, bu yüzden sıfır değeri elenir.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları ve teğet doğrusunun analitik denklemi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

More questions from this topic