a ve b birbirinden farklı, 1'den büyük gerçel sayılardır. 3^{\log_a b} + 3^{2\log_b a} = 1… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$a$ ve $b$ birbirinden farklı, $1$ 'den büyük gerçel sayılardır.

3^{\log_a b} + 3^{2\log_b a} = 12

olduğuna göre,

\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a)

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen denklemde taban değiştirme özelliği kullanılarak

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

yazılır ve değişken değiştirme yardımıyla

\log_a b = 2

değeri bulunur. Bu değer hedef ifadede yerine yazılarak doğru sonuç olan

4

elde edilir.

Taban değiştirme kuralını uygulayarak denklemdeki terimleri aynı cins yazma.

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

yazılır. Denklem

3^{\log_a b} + 3^{\frac{2}{\log_a b}} = 12

haline gelir.

Denklemi tek bir değişken cinsinden çözebilmek için

\log_a b

ile

\log_b a

arasındaki ilişkiyi kullanırız.

Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözme.

u = \log_a b

olsun. Denklem

3^u + 3^{\frac{2}{u}} = 12

olur. Pozitif gerçel sayılarda bu denklemi sağlayan

u

değerleri

u = 1

u = 2

olarak bulunur.

3^u + 9^{1/u} = 12

denkleminin çözümü için

u > 0

aralığında inceleme yapıldığında, fonksiyonun tek bir yerel minimumu olduğu ve bu değerlerin denklemi sağladığı görülür.

Soruda verilen koşulu kullanarak doğru kökü belirleme.

a \neq b

olduğundan

\log_a b \neq 1

'dir. Dolayısıyla

u = 2

yani

\log_a b = 2

(

b = a^2

) alınmalıdır.

Soruda

a

b

'nin birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.

Bulunan değeri hedef ifadede yerine koyarak hesaplama yapma.

\log_{a^2}(b^3) + \log_{\sqrt{b}}(a) = \frac{3}{2}\log_a b + 2\log_b a

özellikleri kullanılarak

\log_a b = 2

\log_b a = \frac{1}{2}

değerleri yerine yazılır ve

\frac{3}{2}(2) + 2(\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4

elde edilir.

Logaritmanın üs özelliklerini ve taban değiştirme kurallarını uygulayarak sonuca ulaşırız.

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklemlere uygulanması

Question