Examkin

Question

Difficulty: Very hardRiemann Toplamı

Bir f(x)=x2+mxf(x) = x^2 + mx fonksiyonu [1,5][1, 5] kapalı aralığında tanımlı ve artandır. Bu aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor. ff fonksiyonunun bu b��lüntüye göre Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olarak hesaplanıyor.

n=8n = 8 için U−A=16U - A = 16 olduğuna göre, ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralinin değeri ile n=4n = 4 eş alt aralık için hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    143\frac{14}{3}
  2. B
    223\frac{22}{3}
  3. 463\frac{46}{3}Answer
  4. D
    503\frac{50}{3}
  5. E
    1183\frac{118}{3}

Answer

Belirli integral değeri olan 1963\frac{196}{3} ile Riemann alt toplamı değeri olan 5050 arasındaki fark 463\frac{46}{3}'tür.
Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olup Riemann üst ve alt toplam farkından m=2m = 2 olarak bulunur. Elde edilen f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değeri 1963\frac{196}{3} ve n=4n=4 için Riemann alt toplamı sol uç noktalarla 5050 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark ise 463\frac{46}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Aralık genişliği formülün�� yazıp Riemann üst ve alt toplamlarının farkını veren bağıntıyı belirleyin.
Alt aralık genişliği Δx=5−1n=4n\Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n} olur. Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olduğundan, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark U−A=(f(5)−f(1))⋅Δx=((25+5m)−(1+m))⋅4n=(24+4m)⋅4nU - A = (f(5) - f(1)) \cdot \Delta x = ((25 + 5m) - (1 + m)) \cdot \frac{4}{n} = (24 + 4m) \cdot \frac{4}{n} ��eklinde ifade edilir.
Artan fonksiyonlarda Riemann üst ve alt toplamlarının farkı, uç noktalardaki fonksiyon değerlerinin farkı ile aralık genişliğinin çarpımına eşittir.
2
Verilen n=8n=8 ve U−A=16U-A=16 değerlerini denklemde yerine koyarak mm parametresini hesaplayın.
(24+4m)⋅48=16  ⟹  12+2m=16  ⟹  2m=4  ⟹  m=2(24 + 4m) \cdot \frac{4}{8} = 16 \implies 12 + 2m = 16 \implies 2m = 4 \implies m = 2 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x olarak elde edilir.
Riemann toplamı ve integral işlemlerini gerçekleştirebilmek için öncelikle fonksiyondaki bilinmeyen katsayının bulunması gerekir.
3
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralini hesaplayın.
∫15(x2+2x) dx=[x33+x2]15=(1253+25)−(13+1)=1243+24=1963\int_1^5 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^5 = \left( \frac{125}{3} + 25 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{124}{3} + 24 = \frac{196}{3} elde edilir.
Riemann alt toplamı ile integral arasındaki farkı bulmak için öncelikle eğri altında kalan alanın kesin değerini temsil eden belirli integrali hesaplamamız gerekir.
4
n=4n=4 eş alt aralık için Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt aralık genişliği Δx=5−14=1\Delta x = \frac{5-1}{4} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2],[2,3],[3,4],[4,5][1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5] şeklindedir. Fonksiyon artan olduğu için her aralığın sol uç noktasındaki değerler kullanılır: A4=(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))⋅1=(3+8+15+24)⋅1=50A_4 = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4)) \cdot 1 = (3 + 8 + 15 + 24) \cdot 1 = 50 bulunur.
Artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıktaki minimum değer olan sol uç noktaların görüntülerinin toplamı alınır.
5
Hesaplanan belirli integral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
1963−50=463\frac{196}{3} - 50 = \frac{46}{3} olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai fark değerine ulaşmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Key Concept

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile olan ilişkisi, artan fonksiyonlarda alt/üst toplam sınırlarının belirlenmesi.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Riemann Toplamı

More questions from this topic