Examkin

Question

Difficulty: HardLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
Gerçel katsayılı üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu için,
lim⁡x→1P(x)x2−1=−12\lim_{x \to 1} \frac{P(x)}{x^2 - 1} = -12
lim⁡x→3P(x)x2−9=−4\lim_{x \to 3} \frac{P(x)}{x^2 - 9} = -4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2P(x)x2−4\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{x^2 - 4}
limitinin değeri kaçtır?
  1. A
    −3-3
  2. B
    1212
  3. 33Answer
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    −6-6

Answer

Limit değeri 3'tür.
Verilen limitlerin gerçel sayı olması için paydaları sıfır yapan x=1x=1 ve x=3x=3 değerlerinin P(x)P(x) polinomunun kökleri olması gerekir. İstenen limitin varlığı da x=2x=2 değerinin polinomun bir diğer kökü olmasını gerektirir. Bu bilgilerle yazılan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) polinomunun baş katsayısı k=−12k = -12 olarak bulunur. Son limitte belirsizlik giderilerek x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında sonuç 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen limitlerin paydalarının sıfıra yaklaşma durumunu incelemek.
x→1x \to 1 için x2−1→0x^2 - 1 \to 0 ve x→3x \to 3 için x2−9→0x^2 - 9 \to 0 olur.
Limit değerlerinin gerçel sayı olması için paylar da sıfıra gitmelidir, yani P(1)=0P(1) = 0 ve P(3)=0P(3) = 0 olmalıdır.
2
İstenen limitin varlık koşulunu belirlemek.
x→2x \to 2 için payda x2−4→0x^2 - 4 \to 0 olduğundan limitin var olması için P(2)=0P(2) = 0 olmalıdır.
0/0 belirsizliği oluşmalıdır ki sadeleşme sonucu limit bir gerçel sayıya eşit olabilsin.
3
Polinomun genel denklemini yazmak.
P(x)P(x) üçüncü dereceden bir polinom ve kökleri 1, 2, 3 olduğundan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) olur.
Polinomun kökleri bilindiğinde çarpanları cinsinden ifade edilebilir.
4
Birinci limit eşitliğini kullanarak kk baş katsayısını bulmak.
lim⁡x→1k(x−1)(x−2)(x−3)(x−1)(x+1)=k(−1)(−2)2=k=−12\lim_{x \to 1} \frac{k(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{k(-1)(-2)}{2} = k = -12 elde edilir.
x−1x-1 çarpanları sadeleşir ve belirsizlik giderilerek limit değeri hesaplanır.
5
İstenen limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2−12(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2−12(x−1)(x−3)x+2=−12(1)(−1)4=3\lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-3)}{x+2} = \frac{-12(1)(-1)}{4} = 3 bulunur.
x−2x-2 çarpanları sadeleştirildikten sonra x=2x = 2 değeri yerine yazılarak limit hesaplanır.

Key Concept

Polinom fonksiyonlarda 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi.

Alternative Method

Polinomun P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) formunda olduğunu belirledikten sonra L'Hôpital kuralı kullanılarak da limit değerleri hesaplanabilir. Örneğin, lim⁡x→1P′(x)2x=−12\lim_{x \to 1} \frac{P'(x)}{2x} = -12 eşitliğinden türev yardımıyla da sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

More questions from this topic